समाधान {l}{5x=4y-2}{5y+1=x}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 4 y - 2 } \\ { 5 y + 1 = x } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 4y घटाउनुहोस्।

$$5x-4y=-2$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट x घटाउनुहोस्।

$$5y+1-x=0$$

दुवै छेउबाट 1 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$5y-x=-1$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x-4y=-2$$

समीकरणको दुबैतिर 4y जोड्नुहोस्।

$$5x=4y-2$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-2\right)$$

\frac{1}{5} लाई 4y-2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{2}{5}$$

\frac{4y-2}{5} लाई x ले अर्को समीकरण -x+5y=-1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\left(\frac{4}{5}y-\frac{2}{5}\right)+5y=-1$$

-1 लाई \frac{4y-2}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{4}{5}y+\frac{2}{5}+5y=-1$$

5y मा -\frac{4y}{5} जोड्नुहोस्

$$\frac{21}{5}y+\frac{2}{5}=-1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{2}{5} घटाउनुहोस्।

$$\frac{21}{5}y=-\frac{7}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{21}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{1}{3}$$

x=\frac{4}{5}y-\frac{2}{5} मा y लाई -\frac{1}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{4}{5}\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{5}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{4}{5} लाई -\frac{1}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{4}{15}-\frac{2}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{2}{5} लाई -\frac{4}{15} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{2}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 4y घटाउनुहोस्।

$$5x-4y=-2$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट x घटाउनुहोस्।

$$5y+1-x=0$$

दुवै छेउबाट 1 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$5y-x=-1$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{4}{21}\\\frac{1}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\left(-2\right)+\frac{4}{21}\left(-1\right)\\\frac{1}{21}\left(-2\right)+\frac{5}{21}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 4y घटाउनुहोस्।

$$5x-4y=-2$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट x घटाउनुहोस्।

$$5y+1-x=0$$

दुवै छेउबाट 1 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$5y-x=-1$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

5x र -x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-5x-\left(-4y\right)=-\left(-2\right),5\left(-1\right)x+5\times 5y=5\left(-1\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-5x+4y=2,-5x+25y=-5$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -5x+4y=2 बाट -5x+25y=-5 घटाउनुहोस्।

$$-5x+5x+4y-25y=2+5$$

5x मा -5x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -5x र 5x राशी रद्द हुन्छन्।

$$4y-25y=2+5$$

-25y मा 4y जोड्नुहोस्

$$-21y=2+5$$

5 मा 2 जोड्नुहोस्

$$-21y=7$$

दुबैतिर -21 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{1}{3}$$

-x+5y=-1 मा y लाई -\frac{1}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=-1$$

5 लाई -\frac{1}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-x-\frac{5}{3}=-1$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{5}{3} जोड्नुहोस्।

$$-x=\frac{2}{3}$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{2}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$