समाधान {l}{5x=2y+16}{7x=32-2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 2 y + 16 } \\ { 7 x = 32 - 2 y } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=4$$

$$y=2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$5x-2y=16$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 2y थप्नुहोस्।

$$7x+2y=32$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x-2y=16$$

समीकरणको दुबैतिर 2y जोड्नुहोस्।

$$5x=2y+16$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+16\right)$$

\frac{1}{5} लाई 16+2y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}$$

\frac{16+2y}{5} लाई x ले अर्को समीकरण 7x+2y=32 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$7\left(\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}\right)+2y=32$$

7 लाई \frac{16+2y}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{14}{5}y+\frac{112}{5}+2y=32$$

2y मा \frac{14y}{5} जोड्नुहोस्

$$\frac{24}{5}y+\frac{112}{5}=32$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{112}{5} घटाउनुहोस्।

$$\frac{24}{5}y=\frac{48}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{24}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=2$$

x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5} मा y लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{16}{5}$$

\frac{2}{5} लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{4+16}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{16}{5} लाई \frac{4}{5} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=4,y=2$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$5x-2y=16$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 2y थप्नुहोस्।

$$7x+2y=32$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\-\frac{7}{24}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 32\\-\frac{7}{24}\times 16+\frac{5}{24}\times 32\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=4,y=2$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$5x-2y=16$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 2y थप्नुहोस्।

$$7x+2y=32$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

5x र 7x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 7 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$7\times 5x+7\left(-2\right)y=7\times 16,5\times 7x+5\times 2y=5\times 32$$

सरल गर्नुहोस्।

$$35x-14y=112,35x+10y=160$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 35x-14y=112 बाट 35x+10y=160 घटाउनुहोस्।

$$35x-35x-14y-10y=112-160$$

-35x मा 35x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 35x र -35x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-14y-10y=112-160$$

-10y मा -14y जोड्नुहोस्

$$-24y=112-160$$

-160 मा 112 जोड्नुहोस्

$$-24y=-48$$

दुबैतिर -24 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=2$$

7x+2y=32 मा y लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$7x+2\times 2=32$$

2 लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$7x+4=32$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4 घटाउनुहोस्।

$$7x=28$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=4,y=2$$