समाधान {l}{5x+y=13}{4x-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 13 } \\ { 4 x - y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=2$$

$$y=3$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x+y=13,4x-y=5$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x+y=13$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$5x=-y+13$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+13\right)$$

\frac{1}{5} लाई -y+13 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{13}{5}$$

\frac{-y+13}{5} लाई x ले अर्को समीकरण 4x-y=5 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(-\frac{1}{5}y+\frac{13}{5}\right)-y=5$$

4 लाई \frac{-y+13}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{4}{5}y+\frac{52}{5}-y=5$$

-y मा -\frac{4y}{5} जोड्नुहोस्

$$-\frac{9}{5}y+\frac{52}{5}=5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{52}{5} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{9}{5}y=-\frac{27}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{9}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=3$$

x=-\frac{1}{5}y+\frac{13}{5} मा y लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{5}\times 3+\frac{13}{5}$$

-\frac{1}{5} लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-3+13}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{13}{5} लाई -\frac{3}{5} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=2,y=3$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x+y=13,4x-y=5$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&1\\4&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{5\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{5\left(-1\right)-4}&\frac{5}{5\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{4}{9}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 13+\frac{1}{9}\times 5\\\frac{4}{9}\times 13-\frac{5}{9}\times 5\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=2,y=3$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x+y=13,4x-y=5$$

5x र 4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\times 5x+4y=4\times 13,5\times 4x+5\left(-1\right)y=5\times 5$$

सरल गर्नुहोस्।

$$20x+4y=52,20x-5y=25$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 20x+4y=52 बाट 20x-5y=25 घटाउनुहोस्।

$$20x-20x+4y+5y=52-25$$

-20x मा 20x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 20x र -20x राशी रद्द हुन्छन्।

$$4y+5y=52-25$$

5y मा 4y जोड्नुहोस्

$$9y=52-25$$

-25 मा 52 जोड्नुहोस्

$$9y=27$$

दुबैतिर 9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=3$$

4x-y=5 मा y लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4x-3=5$$

समीकरणको दुबैतिर 3 जोड्नुहोस्।

$$4x=8$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=2,y=3$$