समाधान {l}{5x+y=-1}{2x+5y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = - 1 } \\ { 2 x + 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{12}{23}\approx -0.52173913$$

$$y = \frac{37}{23} = 1\frac{14}{23} \approx 1.608695652$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x+y=-1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$5x=-y-1$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\left(-y-1\right)$$

\frac{1}{5} लाई -y-1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}$$

\frac{-y-1}{5} लाई x ले अर्को समीकरण 2x+5y=7 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}\right)+5y=7$$

2 लाई \frac{-y-1}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{2}{5}y-\frac{2}{5}+5y=7$$

5y मा -\frac{2y}{5} जोड्नुहोस्

$$\frac{23}{5}y-\frac{2}{5}=7$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{2}{5} जोड्नुहोस्।

$$\frac{23}{5}y=\frac{37}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{23}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{37}{23}$$

x=-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5} मा y लाई \frac{37}{23} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{37}{23}-\frac{1}{5}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{5} लाई \frac{37}{23} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{37}{115}-\frac{1}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{1}{5} लाई -\frac{37}{115} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{12}{23}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2}&-\frac{1}{5\times 5-2}\\-\frac{2}{5\times 5-2}&\frac{5}{5\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&-\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\left(-1\right)-\frac{1}{23}\times 7\\-\frac{2}{23}\left(-1\right)+\frac{5}{23}\times 7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{23}\\\frac{37}{23}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

5x र 2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 5x+2y=2\left(-1\right),5\times 2x+5\times 5y=5\times 7$$

सरल गर्नुहोस्।

$$10x+2y=-2,10x+25y=35$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 10x+2y=-2 बाट 10x+25y=35 घटाउनुहोस्।

$$10x-10x+2y-25y=-2-35$$

-10x मा 10x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 10x र -10x राशी रद्द हुन्छन्।

$$2y-25y=-2-35$$

-25y मा 2y जोड्नुहोस्

$$-23y=-2-35$$

-35 मा -2 जोड्नुहोस्

$$-23y=-37$$

दुबैतिर -23 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{37}{23}$$

2x+5y=7 मा y लाई \frac{37}{23} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2x+5\times \frac{37}{23}=7$$

5 लाई \frac{37}{23} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2x+\frac{185}{23}=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{185}{23} घटाउनुहोस्।

$$2x=-\frac{24}{23}$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{12}{23}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$