समाधान {l}{5x+7y=7}{3x+2y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 7 } \\ { 3 x + 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{63}{11} = 5\frac{8}{11} \approx 5.727272727$$

$$y = -\frac{34}{11} = -3\frac{1}{11} \approx -3.090909091$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x+7y=7,3x+2y=11$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x+7y=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 7y घटाउनुहोस्।

$$5x=-7y+7$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+7\right)$$

\frac{1}{5} लाई -7y+7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{7}{5}y+\frac{7}{5}$$

\frac{-7y+7}{5} लाई x ले अर्को समीकरण 3x+2y=11 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(-\frac{7}{5}y+\frac{7}{5}\right)+2y=11$$

3 लाई \frac{-7y+7}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{21}{5}y+\frac{21}{5}+2y=11$$

2y मा -\frac{21y}{5} जोड्नुहोस्

$$-\frac{11}{5}y+\frac{21}{5}=11$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{21}{5} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{11}{5}y=\frac{34}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{11}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{34}{11}$$

x=-\frac{7}{5}y+\frac{7}{5} मा y लाई -\frac{34}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{7}{5}\left(-\frac{34}{11}\right)+\frac{7}{5}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{7}{5} लाई -\frac{34}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{238}{55}+\frac{7}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{7}{5} लाई \frac{238}{55} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{63}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{63}{11},y=-\frac{34}{11}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x+7y=7,3x+2y=11$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-7\times 3}&-\frac{7}{5\times 2-7\times 3}\\-\frac{3}{5\times 2-7\times 3}&\frac{5}{5\times 2-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\times 7+\frac{7}{11}\times 11\\\frac{3}{11}\times 7-\frac{5}{11}\times 11\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{11}\\-\frac{34}{11}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{63}{11},y=-\frac{34}{11}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x+7y=7,3x+2y=11$$

5x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 5x+3\times 7y=3\times 7,5\times 3x+5\times 2y=5\times 11$$

सरल गर्नुहोस्।

$$15x+21y=21,15x+10y=55$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 15x+21y=21 बाट 15x+10y=55 घटाउनुहोस्।

$$15x-15x+21y-10y=21-55$$

-15x मा 15x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 15x र -15x राशी रद्द हुन्छन्।

$$21y-10y=21-55$$

-10y मा 21y जोड्नुहोस्

$$11y=21-55$$

-55 मा 21 जोड्नुहोस्

$$11y=-34$$

दुबैतिर 11 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{34}{11}$$

3x+2y=11 मा y लाई -\frac{34}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x+2\left(-\frac{34}{11}\right)=11$$

2 लाई -\frac{34}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x-\frac{68}{11}=11$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{68}{11} जोड्नुहोस्।

$$3x=\frac{189}{11}$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{63}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{63}{11},y=-\frac{34}{11}$$