समाधान {l}{5x+6y=19}{x-y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 6 y = 19 } \\ { x - y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{37}{11} = 3\frac{4}{11} \approx 3.363636364$$

$$y=\frac{4}{11}\approx 0.363636364$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x+6y=19,x-y=3$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x+6y=19$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 6y घटाउनुहोस्।

$$5x=-6y+19$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y+19\right)$$

\frac{1}{5} लाई -6y+19 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{6}{5}y+\frac{19}{5}$$

\frac{-6y+19}{5} लाई x ले अर्को समीकरण x-y=3 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\frac{6}{5}y+\frac{19}{5}-y=3$$

-y मा -\frac{6y}{5} जोड्नुहोस्

$$-\frac{11}{5}y+\frac{19}{5}=3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{19}{5} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{11}{5}y=-\frac{4}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{11}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{4}{11}$$

x=-\frac{6}{5}y+\frac{19}{5} मा y लाई \frac{4}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{6}{5}\times \frac{4}{11}+\frac{19}{5}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{6}{5} लाई \frac{4}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{24}{55}+\frac{19}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{19}{5} लाई -\frac{24}{55} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{37}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{37}{11},y=\frac{4}{11}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x+6y=19,x-y=3$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-6}&-\frac{6}{5\left(-1\right)-6}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-6}&\frac{5}{5\left(-1\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{6}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 19+\frac{6}{11}\times 3\\\frac{1}{11}\times 19-\frac{5}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{37}{11}\\\frac{4}{11}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{37}{11},y=\frac{4}{11}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x+6y=19,x-y=3$$

5x र x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5x+6y=19,5x+5\left(-1\right)y=5\times 3$$

सरल गर्नुहोस्।

$$5x+6y=19,5x-5y=15$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 5x+6y=19 बाट 5x-5y=15 घटाउनुहोस्।

$$5x-5x+6y+5y=19-15$$

-5x मा 5x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 5x र -5x राशी रद्द हुन्छन्।

$$6y+5y=19-15$$

5y मा 6y जोड्नुहोस्

$$11y=19-15$$

-15 मा 19 जोड्नुहोस्

$$11y=4$$

दुबैतिर 11 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{4}{11}$$

x-y=3 मा y लाई \frac{4}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x-\frac{4}{11}=3$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{4}{11} जोड्नुहोस्।

$$x=\frac{37}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{37}{11},y=\frac{4}{11}$$