समाधान {l}{5x+5y=14}{2x+4y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 14 } \\ { 2 x + 4 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x+5y=14$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5y घटाउनुहोस्।

$$5x=-5y+14$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\left(-5y+14\right)$$

\frac{1}{5} लाई -5y+14 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-y+\frac{14}{5}$$

-y+\frac{14}{5} लाई x ले अर्को समीकरण 2x+4y=10 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-y+\frac{14}{5}\right)+4y=10$$

2 लाई -y+\frac{14}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-2y+\frac{28}{5}+4y=10$$

4y मा -2y जोड्नुहोस्

$$2y+\frac{28}{5}=10$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{28}{5} घटाउनुहोस्।

$$2y=\frac{22}{5}$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{11}{5}$$

x=-y+\frac{14}{5} मा y लाई \frac{11}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{11}{5}+\frac{14}{5}$$

-1 लाई \frac{11}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-11+14}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{14}{5} लाई -\frac{11}{5} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-5\times 2}&-\frac{5}{5\times 4-5\times 2}\\-\frac{2}{5\times 4-5\times 2}&\frac{5}{5\times 4-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 14-\frac{1}{2}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 14+\frac{1}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

5x र 2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 5x+2\times 5y=2\times 14,5\times 2x+5\times 4y=5\times 10$$

सरल गर्नुहोस्।

$$10x+10y=28,10x+20y=50$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 10x+10y=28 बाट 10x+20y=50 घटाउनुहोस्।

$$10x-10x+10y-20y=28-50$$

-10x मा 10x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 10x र -10x राशी रद्द हुन्छन्।

$$10y-20y=28-50$$

-20y मा 10y जोड्नुहोस्

$$-10y=28-50$$

-50 मा 28 जोड्नुहोस्

$$-10y=-22$$

दुबैतिर -10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{11}{5}$$

2x+4y=10 मा y लाई \frac{11}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2x+4\times \frac{11}{5}=10$$

4 लाई \frac{11}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2x+\frac{44}{5}=10$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{44}{5} घटाउनुहोस्।

$$2x=\frac{6}{5}$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$