समाधान {l}{5x+3y=6}{2x+7y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 6 } \\ { 2 x + 7 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{15}{29}\approx 0.517241379$$

$$y = \frac{33}{29} = 1\frac{4}{29} \approx 1.137931034$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x+3y=6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$5x=-3y+6$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+6\right)$$

\frac{1}{5} लाई -3y+6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}$$

\frac{-3y+6}{5} लाई x ले अर्को समीकरण 2x+7y=9 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}\right)+7y=9$$

2 लाई \frac{-3y+6}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{6}{5}y+\frac{12}{5}+7y=9$$

7y मा -\frac{6y}{5} जोड्नुहोस्

$$\frac{29}{5}y+\frac{12}{5}=9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{12}{5} घटाउनुहोस्।

$$\frac{29}{5}y=\frac{33}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{29}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{33}{29}$$

x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5} मा y लाई \frac{33}{29} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{33}{29}+\frac{6}{5}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{3}{5} लाई \frac{33}{29} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{99}{145}+\frac{6}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{6}{5} लाई -\frac{99}{145} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{15}{29}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-3\times 2}&-\frac{3}{5\times 7-3\times 2}\\-\frac{2}{5\times 7-3\times 2}&\frac{5}{5\times 7-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}&-\frac{3}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}\times 6-\frac{3}{29}\times 9\\-\frac{2}{29}\times 6+\frac{5}{29}\times 9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{29}\\\frac{33}{29}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

5x र 2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 5x+2\times 3y=2\times 6,5\times 2x+5\times 7y=5\times 9$$

सरल गर्नुहोस्।

$$10x+6y=12,10x+35y=45$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 10x+6y=12 बाट 10x+35y=45 घटाउनुहोस्।

$$10x-10x+6y-35y=12-45$$

-10x मा 10x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 10x र -10x राशी रद्द हुन्छन्।

$$6y-35y=12-45$$

-35y मा 6y जोड्नुहोस्

$$-29y=12-45$$

-45 मा 12 जोड्नुहोस्

$$-29y=-33$$

दुबैतिर -29 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{33}{29}$$

2x+7y=9 मा y लाई \frac{33}{29} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2x+7\times \frac{33}{29}=9$$

7 लाई \frac{33}{29} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2x+\frac{231}{29}=9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{231}{29} घटाउनुहोस्।

$$2x=\frac{30}{29}$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{15}{29}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$