समाधान {l}{5x+3y=460.000}{3x+4y=913.000}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 460.000 } \\ { 3 x + 4 y = 913.000 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{899}{11} = -81\frac{8}{11} \approx -81.727272727$$

$$y = \frac{3185}{11} = 289\frac{6}{11} \approx 289.545454545$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x+3y=460,3x+4y=913$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x+3y=460$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$5x=-3y+460$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+460\right)$$

\frac{1}{5} लाई -3y+460 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{5}y+92$$

-\frac{3y}{5}+92 लाई x ले अर्को समीकरण 3x+4y=913 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(-\frac{3}{5}y+92\right)+4y=913$$

3 लाई -\frac{3y}{5}+92 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{9}{5}y+276+4y=913$$

4y मा -\frac{9y}{5} जोड्नुहोस्

$$\frac{11}{5}y+276=913$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 276 घटाउनुहोस्।

$$\frac{11}{5}y=637$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{11}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{3185}{11}$$

x=-\frac{3}{5}y+92 मा y लाई \frac{3185}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{3185}{11}+92$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{3}{5} लाई \frac{3185}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{1911}{11}+92$$

-\frac{1911}{11} मा 92 जोड्नुहोस्

$$x=-\frac{899}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{899}{11},y=\frac{3185}{11}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x+3y=460,3x+4y=913$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}&\frac{5}{5\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 460-\frac{3}{11}\times 913\\-\frac{3}{11}\times 460+\frac{5}{11}\times 913\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{899}{11}\\\frac{3185}{11}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{899}{11},y=\frac{3185}{11}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x+3y=460,3x+4y=913$$

5x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 460,5\times 3x+5\times 4y=5\times 913$$

सरल गर्नुहोस्।

$$15x+9y=1380,15x+20y=4565$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 15x+9y=1380 बाट 15x+20y=4565 घटाउनुहोस्।

$$15x-15x+9y-20y=1380-4565$$

-15x मा 15x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 15x र -15x राशी रद्द हुन्छन्।

$$9y-20y=1380-4565$$

-20y मा 9y जोड्नुहोस्

$$-11y=1380-4565$$

-4565 मा 1380 जोड्नुहोस्

$$-11y=-3185$$

दुबैतिर -11 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{3185}{11}$$

3x+4y=913 मा y लाई \frac{3185}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x+4\times \frac{3185}{11}=913$$

4 लाई \frac{3185}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x+\frac{12740}{11}=913$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{12740}{11} घटाउनुहोस्।

$$3x=-\frac{2697}{11}$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{899}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{899}{11},y=\frac{3185}{11}$$