समाधान {l}{5x+2y=10}{4x+y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 10 } \\ { 4 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=2$$

$$y=0$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x+2y=10,4x+y=8$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x+2y=10$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$5x=-2y+10$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+10\right)$$

\frac{1}{5} लाई -2y+10 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{2}{5}y+2$$

-\frac{2y}{5}+2 लाई x ले अर्को समीकरण 4x+y=8 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(-\frac{2}{5}y+2\right)+y=8$$

4 लाई -\frac{2y}{5}+2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{8}{5}y+8+y=8$$

y मा -\frac{8y}{5} जोड्नुहोस्

$$-\frac{3}{5}y+8=8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 8 घटाउनुहोस्।

$$-\frac{3}{5}y=0$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{3}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=0$$

x=-\frac{2}{5}y+2 मा y लाई 0 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=2,y=0$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x+2y=10,4x+y=8$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2\times 4}&-\frac{2}{5-2\times 4}\\-\frac{4}{5-2\times 4}&\frac{5}{5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 10+\frac{2}{3}\times 8\\\frac{4}{3}\times 10-\frac{5}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=2,y=0$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x+2y=10,4x+y=8$$

5x र 4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\times 5x+4\times 2y=4\times 10,5\times 4x+5y=5\times 8$$

सरल गर्नुहोस्।

$$20x+8y=40,20x+5y=40$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 20x+8y=40 बाट 20x+5y=40 घटाउनुहोस्।

$$20x-20x+8y-5y=40-40$$

-20x मा 20x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 20x र -20x राशी रद्द हुन्छन्।

$$8y-5y=40-40$$

-5y मा 8y जोड्नुहोस्

$$3y=40-40$$

-40 मा 40 जोड्नुहोस्

$$3y=0$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=0$$

4x+y=8 मा y लाई 0 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4x=8$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=2,y=0$$