समाधान {l}{5b+c=8}{4b+4c=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 b + c = 8 } \\ { 4 b + 4 c = 8 } \end{array} \right.$$

b, c को लागि हल गर्नुहोस्

$$b = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$c=\frac{1}{2}=0.5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको b लाई अलग गरी b का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5b+c=8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट c घटाउनुहोस्।

$$5b=-c+8$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=\frac{1}{5}\left(-c+8\right)$$

\frac{1}{5} लाई -c+8 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$b=-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}$$

\frac{-c+8}{5} लाई b ले अर्को समीकरण 4b+4c=8 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}\right)+4c=8$$

4 लाई \frac{-c+8}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{4}{5}c+\frac{32}{5}+4c=8$$

4c मा -\frac{4c}{5} जोड्नुहोस्

$$\frac{16}{5}c+\frac{32}{5}=8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{32}{5} घटाउनुहोस्।

$$\frac{16}{5}c=\frac{8}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{16}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$c=\frac{1}{2}$$

b=-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5} मा c लाई \frac{1}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले b लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$b=-\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}+\frac{8}{5}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{5} लाई \frac{1}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$b=-\frac{1}{10}+\frac{8}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{8}{5} लाई -\frac{1}{10} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$b=\frac{3}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-4}&-\frac{1}{5\times 4-4}\\-\frac{4}{5\times 4-4}&\frac{5}{5\times 4-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{16}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 8-\frac{1}{16}\times 8\\-\frac{1}{4}\times 8+\frac{5}{16}\times 8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू b र c लाई ता्नुहोस्।

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

5b र 4b लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\times 5b+4c=4\times 8,5\times 4b+5\times 4c=5\times 8$$

सरल गर्नुहोस्।

$$20b+4c=32,20b+20c=40$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 20b+4c=32 बाट 20b+20c=40 घटाउनुहोस्।

$$20b-20b+4c-20c=32-40$$

-20b मा 20b जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 20b र -20b राशी रद्द हुन्छन्।

$$4c-20c=32-40$$

-20c मा 4c जोड्नुहोस्

$$-16c=32-40$$

-40 मा 32 जोड्नुहोस्

$$-16c=-8$$

दुबैतिर -16 ले भाग गर्नुहोस्।

$$c=\frac{1}{2}$$

4b+4c=8 मा c लाई \frac{1}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले b लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4b+4\times \frac{1}{2}=8$$

4 लाई \frac{1}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4b+2=8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2 घटाउनुहोस्।

$$4b=6$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=\frac{3}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$