समाधान {l}{5(x+2)=4y}{3(y-4)=6x}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 ( x + 2 ) = 4 y } \\ { 3 ( y - 4 ) = 6 x } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-2$$

$$y=0$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 5 लाई x+2 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x+10=4y$$

दुवै छेउबाट 4y घटाउनुहोस्।

$$5x+10-4y=0$$

दुवै छेउबाट 10 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$5x-4y=-10$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 3 लाई y-4 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3y-12=6x$$

दुवै छेउबाट 6x घटाउनुहोस्।

$$3y-12-6x=0$$

दुबै छेउहरूमा 12 थप्नुहोस्। शून्यमा कुनै पनि अंक जोड्दा जोडफल सोही अंक बराबर नै हुन्छ।

$$3y-6x=12$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x-4y=-10$$

समीकरणको दुबैतिर 4y जोड्नुहोस्।

$$5x=4y-10$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-10\right)$$

\frac{1}{5} लाई 4y-10 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{4}{5}y-2$$

\frac{4y}{5}-2 लाई x ले अर्को समीकरण -6x+3y=12 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-6\left(\frac{4}{5}y-2\right)+3y=12$$

-6 लाई \frac{4y}{5}-2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{24}{5}y+12+3y=12$$

3y मा -\frac{24y}{5} जोड्नुहोस्

$$-\frac{9}{5}y+12=12$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 12 घटाउनुहोस्।

$$-\frac{9}{5}y=0$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{9}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=0$$

x=\frac{4}{5}y-2 मा y लाई 0 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-2,y=0$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 5 लाई x+2 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x+10=4y$$

दुवै छेउबाट 4y घटाउनुहोस्।

$$5x+10-4y=0$$

दुवै छेउबाट 10 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$5x-4y=-10$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 3 लाई y-4 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3y-12=6x$$

दुवै छेउबाट 6x घटाउनुहोस्।

$$3y-12-6x=0$$

दुबै छेउहरूमा 12 थप्नुहोस्। शून्यमा कुनै पनि अंक जोड्दा जोडफल सोही अंक बराबर नै हुन्छ।

$$3y-6x=12$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-10\right)-\frac{4}{9}\times 12\\-\frac{2}{3}\left(-10\right)-\frac{5}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-2,y=0$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 5 लाई x+2 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x+10=4y$$

दुवै छेउबाट 4y घटाउनुहोस्।

$$5x+10-4y=0$$

दुवै छेउबाट 10 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$5x-4y=-10$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 3 लाई y-4 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3y-12=6x$$

दुवै छेउबाट 6x घटाउनुहोस्।

$$3y-12-6x=0$$

दुबै छेउहरूमा 12 थप्नुहोस्। शून्यमा कुनै पनि अंक जोड्दा जोडफल सोही अंक बराबर नै हुन्छ।

$$3y-6x=12$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

5x र -6x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -6 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-10\right),5\left(-6\right)x+5\times 3y=5\times 12$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-30x+24y=60,-30x+15y=60$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -30x+24y=60 बाट -30x+15y=60 घटाउनुहोस्।

$$-30x+30x+24y-15y=60-60$$

30x मा -30x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -30x र 30x राशी रद्द हुन्छन्।

$$24y-15y=60-60$$

-15y मा 24y जोड्नुहोस्

$$9y=60-60$$

-60 मा 60 जोड्नुहोस्

$$9y=0$$

दुबैतिर 9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=0$$

-6x+3y=12 मा y लाई 0 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-6x=12$$

दुबैतिर -6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-2,y=0$$