समाधान {l}{40x+30y=500}{60x+15y=600}

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 30 y = 500 } \\ { 60 x + 15 y = 600 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{35}{4} = 8\frac{3}{4} = 8.75$$

$$y=5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$40x+30y=500$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 30y घटाउनुहोस्।

$$40x=-30y+500$$

दुबैतिर 40 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{40}\left(-30y+500\right)$$

\frac{1}{40} लाई -30y+500 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}$$

-\frac{3y}{4}+\frac{25}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 60x+15y=600 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$60\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}\right)+15y=600$$

60 लाई -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-45y+750+15y=600$$

15y मा -45y जोड्नुहोस्

$$-30y+750=600$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 750 घटाउनुहोस्।

$$-30y=-150$$

दुबैतिर -30 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=5$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2} मा y लाई 5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{3}{4}\times 5+\frac{25}{2}$$

-\frac{3}{4} लाई 5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{15}{4}+\frac{25}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{25}{2} लाई -\frac{15}{4} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{35}{4}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{35}{4},y=5$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-30\times 60}&-\frac{30}{40\times 15-30\times 60}\\-\frac{60}{40\times 15-30\times 60}&\frac{40}{40\times 15-30\times 60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{40}\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 500+\frac{1}{40}\times 600\\\frac{1}{20}\times 500-\frac{1}{30}\times 600\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{4}\\5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{35}{4},y=5$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

40x र 60x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 60 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 40 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$60\times 40x+60\times 30y=60\times 500,40\times 60x+40\times 15y=40\times 600$$

सरल गर्नुहोस्।

$$2400x+1800y=30000,2400x+600y=24000$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 2400x+1800y=30000 बाट 2400x+600y=24000 घटाउनुहोस्।

$$2400x-2400x+1800y-600y=30000-24000$$

-2400x मा 2400x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 2400x र -2400x राशी रद्द हुन्छन्।

$$1800y-600y=30000-24000$$

-600y मा 1800y जोड्नुहोस्

$$1200y=30000-24000$$

-24000 मा 30000 जोड्नुहोस्

$$1200y=6000$$

दुबैतिर 1200 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=5$$

60x+15y=600 मा y लाई 5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$60x+15\times 5=600$$

15 लाई 5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$60x+75=600$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 75 घटाउनुहोस्।

$$60x=525$$

दुबैतिर 60 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{35}{4}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{35}{4},y=5$$