समाधान {l}{4x-3y=5}{8x+6y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 5 } \\ { 8 x + 6 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$y=0$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4x-3y=5,8x+6y=10$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4x-3y=5$$

समीकरणको दुबैतिर 3y जोड्नुहोस्।

$$4x=3y+5$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+5\right)$$

\frac{1}{4} लाई 3y+5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

\frac{3y+5}{4} लाई x ले अर्को समीकरण 8x+6y=10 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}\right)+6y=10$$

8 लाई \frac{3y+5}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$6y+10+6y=10$$

6y मा 6y जोड्नुहोस्

$$12y+10=10$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 10 घटाउनुहोस्।

$$12y=0$$

दुबैतिर 12 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=0$$

x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4} मा y लाई 0 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{5}{4}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{5}{4},y=0$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x-3y=5,8x+6y=10$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-\left(-3\times 8\right)}&-\frac{-3}{4\times 6-\left(-3\times 8\right)}\\-\frac{8}{4\times 6-\left(-3\times 8\right)}&\frac{4}{4\times 6-\left(-3\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{16}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 5+\frac{1}{16}\times 10\\-\frac{1}{6}\times 5+\frac{1}{12}\times 10\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\\0\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{4},y=0$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4x-3y=5,8x+6y=10$$

4x र 8x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 8 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$8\times 4x+8\left(-3\right)y=8\times 5,4\times 8x+4\times 6y=4\times 10$$

सरल गर्नुहोस्।

$$32x-24y=40,32x+24y=40$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 32x-24y=40 बाट 32x+24y=40 घटाउनुहोस्।

$$32x-32x-24y-24y=40-40$$

-32x मा 32x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 32x र -32x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-24y-24y=40-40$$

-24y मा -24y जोड्नुहोस्

$$-48y=40-40$$

-40 मा 40 जोड्नुहोस्

$$-48y=0$$

दुबैतिर -48 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=0$$

8x+6y=10 मा y लाई 0 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$8x=10$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{4}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{5}{4},y=0$$