समाधान {l}{4x+y=15}{5y+19x=30}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 15 } \\ { 5 y + 19 x = 30 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=45$$

$$y=-165$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4x+y=15$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$4x=-y+15$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+15\right)$$

\frac{1}{4} लाई -y+15 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

\frac{-y+15}{4} लाई x ले अर्को समीकरण 19x+5y=30 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$19\left(-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)+5y=30$$

19 लाई \frac{-y+15}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{19}{4}y+\frac{285}{4}+5y=30$$

5y मा -\frac{19y}{4} जोड्नुहोस्

$$\frac{1}{4}y+\frac{285}{4}=30$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{285}{4} घटाउनुहोस्।

$$\frac{1}{4}y=-\frac{165}{4}$$

दुबैतिर 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$y=-165$$

x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4} मा y लाई -165 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{4}\left(-165\right)+\frac{15}{4}$$

-\frac{1}{4} लाई -165 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{165+15}{4}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{15}{4} लाई \frac{165}{4} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=45$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=45,y=-165$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-19}&-\frac{1}{4\times 5-19}\\-\frac{19}{4\times 5-19}&\frac{4}{4\times 5-19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 15-30\\-19\times 15+4\times 30\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-165\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=45,y=-165$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

4x र 19x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 19 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$19\times 4x+19y=19\times 15,4\times 19x+4\times 5y=4\times 30$$

सरल गर्नुहोस्।

$$76x+19y=285,76x+20y=120$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 76x+19y=285 बाट 76x+20y=120 घटाउनुहोस्।

$$76x-76x+19y-20y=285-120$$

-76x मा 76x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 76x र -76x राशी रद्द हुन्छन्।

$$19y-20y=285-120$$

-20y मा 19y जोड्नुहोस्

$$-y=285-120$$

-120 मा 285 जोड्नुहोस्

$$-y=165$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-165$$

19x+5y=30 मा y लाई -165 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$19x+5\left(-165\right)=30$$

5 लाई -165 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$19x-825=30$$

समीकरणको दुबैतिर 825 जोड्नुहोस्।

$$19x=855$$

दुबैतिर 19 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=45$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=45,y=-165$$