समाधान {l}{4x+y=14}{5x-2y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 14 } \\ { 5 x - 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{33}{13} = 2\frac{7}{13} \approx 2.538461538$$

$$y = \frac{50}{13} = 3\frac{11}{13} \approx 3.846153846$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4x+y=14,5x-2y=5$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4x+y=14$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$4x=-y+14$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+14\right)$$

\frac{1}{4} लाई -y+14 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{2}$$

-\frac{y}{4}+\frac{7}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 5x-2y=5 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\left(-\frac{1}{4}y+\frac{7}{2}\right)-2y=5$$

5 लाई -\frac{y}{4}+\frac{7}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{5}{4}y+\frac{35}{2}-2y=5$$

-2y मा -\frac{5y}{4} जोड्नुहोस्

$$-\frac{13}{4}y+\frac{35}{2}=5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{35}{2} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{13}{4}y=-\frac{25}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{13}{4} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{50}{13}$$

x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{2} मा y लाई \frac{50}{13} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{50}{13}+\frac{7}{2}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{4} लाई \frac{50}{13} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{25}{26}+\frac{7}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{7}{2} लाई -\frac{25}{26} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{33}{13}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{33}{13},y=\frac{50}{13}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x+y=14,5x-2y=5$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-5}&-\frac{1}{4\left(-2\right)-5}\\-\frac{5}{4\left(-2\right)-5}&\frac{4}{4\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{5}{13}&-\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 14+\frac{1}{13}\times 5\\\frac{5}{13}\times 14-\frac{4}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{13}\\\frac{50}{13}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{33}{13},y=\frac{50}{13}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4x+y=14,5x-2y=5$$

4x र 5x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5\times 4x+5y=5\times 14,4\times 5x+4\left(-2\right)y=4\times 5$$

सरल गर्नुहोस्।

$$20x+5y=70,20x-8y=20$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 20x+5y=70 बाट 20x-8y=20 घटाउनुहोस्।

$$20x-20x+5y+8y=70-20$$

-20x मा 20x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 20x र -20x राशी रद्द हुन्छन्।

$$5y+8y=70-20$$

8y मा 5y जोड्नुहोस्

$$13y=70-20$$

-20 मा 70 जोड्नुहोस्

$$13y=50$$

दुबैतिर 13 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{50}{13}$$

5x-2y=5 मा y लाई \frac{50}{13} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$5x-2\times \frac{50}{13}=5$$

-2 लाई \frac{50}{13} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$5x-\frac{100}{13}=5$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{100}{13} जोड्नुहोस्।

$$5x=\frac{165}{13}$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{33}{13}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{33}{13},y=\frac{50}{13}$$