समाधान {l}{4x+y=100}{2x+2y=56}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 100 } \\ { 2 x + 2 y = 56 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=24$$

$$y=4$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4x+y=100$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$4x=-y+100$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+100\right)$$

\frac{1}{4} लाई -y+100 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{4}y+25$$

-\frac{y}{4}+25 लाई x ले अर्को समीकरण 2x+2y=56 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-\frac{1}{4}y+25\right)+2y=56$$

2 लाई -\frac{y}{4}+25 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{1}{2}y+50+2y=56$$

2y मा -\frac{y}{2} जोड्नुहोस्

$$\frac{3}{2}y+50=56$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 50 घटाउनुहोस्।

$$\frac{3}{2}y=6$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{3}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=4$$

x=-\frac{1}{4}y+25 मा y लाई 4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{4}\times 4+25$$

-\frac{1}{4} लाई 4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-1+25$$

-1 मा 25 जोड्नुहोस्

$$x=24$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=24,y=4$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्सको लागि \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), विपरित मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो जसले गर्दा मेट्रिक्स समीकरणलाई लाई मेट्रिक्सको गुणन समस्याको रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-2}&-\frac{1}{4\times 2-2}\\-\frac{2}{4\times 2-2}&\frac{4}{4\times 2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 100-\frac{1}{6}\times 56\\-\frac{1}{3}\times 100+\frac{2}{3}\times 56\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=24,y=4$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

4x र 2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 4x+2y=2\times 100,4\times 2x+4\times 2y=4\times 56$$

सरल गर्नुहोस्।

$$8x+2y=200,8x+8y=224$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 8x+2y=200 बाट 8x+8y=224 घटाउनुहोस्।

$$8x-8x+2y-8y=200-224$$

-8x मा 8x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 8x र -8x राशी रद्द हुन्छन्।

$$2y-8y=200-224$$

-8y मा 2y जोड्नुहोस्

$$-6y=200-224$$

-224 मा 200 जोड्नुहोस्

$$-6y=-24$$

दुबैतिर -6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=4$$

2x+2y=56 मा y लाई 4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2x+2\times 4=56$$

2 लाई 4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2x+8=56$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 8 घटाउनुहोस्।

$$2x=48$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=24$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=24,y=4$$