समाधान {l}{4x+y=-7}{2x+6y=-11}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = - 7 } \\ { 2 x + 6 y = - 11 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{31}{22} = -1\frac{9}{22} \approx -1.409090909$$

$$y = -\frac{15}{11} = -1\frac{4}{11} \approx -1.363636364$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4x+y=-7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$4x=-y-7$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-7\right)$$

\frac{1}{4} लाई -y-7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}$$

\frac{-y-7}{4} लाई x ले अर्को समीकरण 2x+6y=-11 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}\right)+6y=-11$$

2 लाई \frac{-y-7}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{1}{2}y-\frac{7}{2}+6y=-11$$

6y मा -\frac{y}{2} जोड्नुहोस्

$$\frac{11}{2}y-\frac{7}{2}=-11$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{7}{2} जोड्नुहोस्।

$$\frac{11}{2}y=-\frac{15}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{11}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{15}{11}$$

x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4} मा y लाई -\frac{15}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{4}\left(-\frac{15}{11}\right)-\frac{7}{4}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{4} लाई -\frac{15}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{15}{44}-\frac{7}{4}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{7}{4} लाई \frac{15}{44} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{31}{22}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-2}&-\frac{1}{4\times 6-2}\\-\frac{2}{4\times 6-2}&\frac{4}{4\times 6-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\left(-7\right)-\frac{1}{22}\left(-11\right)\\-\frac{1}{11}\left(-7\right)+\frac{2}{11}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{31}{22}\\-\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

4x र 2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 4x+2y=2\left(-7\right),4\times 2x+4\times 6y=4\left(-11\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$8x+2y=-14,8x+24y=-44$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 8x+2y=-14 बाट 8x+24y=-44 घटाउनुहोस्।

$$8x-8x+2y-24y=-14+44$$

-8x मा 8x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 8x र -8x राशी रद्द हुन्छन्।

$$2y-24y=-14+44$$

-24y मा 2y जोड्नुहोस्

$$-22y=-14+44$$

44 मा -14 जोड्नुहोस्

$$-22y=30$$

दुबैतिर -22 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{15}{11}$$

2x+6y=-11 मा y लाई -\frac{15}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2x+6\left(-\frac{15}{11}\right)=-11$$

6 लाई -\frac{15}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2x-\frac{90}{11}=-11$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{90}{11} जोड्नुहोस्।

$$2x=-\frac{31}{11}$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{31}{22}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$