समाधान {l}{4x+8y=64}{2x-8y=86}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 8 y = 64 } \\ { 2 x - 8 y = 86 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=25$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4x+8y=64,2x-8y=86$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4x+8y=64$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 8y घटाउनुहोस्।

$$4x=-8y+64$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}\left(-8y+64\right)$$

\frac{1}{4} लाई -8y+64 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-2y+16$$

-2y+16 लाई x ले अर्को समीकरण 2x-8y=86 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-2y+16\right)-8y=86$$

2 लाई -2y+16 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-4y+32-8y=86$$

-8y मा -4y जोड्नुहोस्

$$-12y+32=86$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 32 घटाउनुहोस्।

$$-12y=54$$

दुबैतिर -12 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{9}{2}$$

x=-2y+16 मा y लाई -\frac{9}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-2\left(-\frac{9}{2}\right)+16$$

-2 लाई -\frac{9}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=9+16$$

9 मा 16 जोड्नुहोस्

$$x=25$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=25,y=-\frac{9}{2}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x+8y=64,2x-8y=86$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&8\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\86\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&8\\2&-8\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&8\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\86\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\86\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\86\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{4\left(-8\right)-8\times 2}&-\frac{8}{4\left(-8\right)-8\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-8\right)-8\times 2}&\frac{4}{4\left(-8\right)-8\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\86\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{24}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\86\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 64+\frac{1}{6}\times 86\\\frac{1}{24}\times 64-\frac{1}{12}\times 86\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=25,y=-\frac{9}{2}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4x+8y=64,2x-8y=86$$

4x र 2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 4x+2\times 8y=2\times 64,4\times 2x+4\left(-8\right)y=4\times 86$$

सरल गर्नुहोस्।

$$8x+16y=128,8x-32y=344$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 8x+16y=128 बाट 8x-32y=344 घटाउनुहोस्।

$$8x-8x+16y+32y=128-344$$

-8x मा 8x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 8x र -8x राशी रद्द हुन्छन्।

$$16y+32y=128-344$$

32y मा 16y जोड्नुहोस्

$$48y=128-344$$

-344 मा 128 जोड्नुहोस्

$$48y=-216$$

दुबैतिर 48 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{9}{2}$$

2x-8y=86 मा y लाई -\frac{9}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2x-8\left(-\frac{9}{2}\right)=86$$

-8 लाई -\frac{9}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2x+36=86$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 36 घटाउनुहोस्।

$$2x=50$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=25$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=25,y=-\frac{9}{2}$$