समाधान {l}{4x+5y=7}{3x-2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 7 } \\ { 3 x - 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{59}{23} = 2\frac{13}{23} \approx 2.565217391$$

$$y=-\frac{15}{23}\approx -0.652173913$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4x+5y=7,3x-2y=9$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4x+5y=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5y घटाउनुहोस्।

$$4x=-5y+7$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+7\right)$$

\frac{1}{4} लाई -5y+7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}$$

\frac{-5y+7}{4} लाई x ले अर्को समीकरण 3x-2y=9 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(-\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}\right)-2y=9$$

3 लाई \frac{-5y+7}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{15}{4}y+\frac{21}{4}-2y=9$$

-2y मा -\frac{15y}{4} जोड्नुहोस्

$$-\frac{23}{4}y+\frac{21}{4}=9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{21}{4} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{23}{4}y=\frac{15}{4}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{23}{4} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{15}{23}$$

x=-\frac{5}{4}y+\frac{7}{4} मा y लाई -\frac{15}{23} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{5}{4}\left(-\frac{15}{23}\right)+\frac{7}{4}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{5}{4} लाई -\frac{15}{23} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{75}{92}+\frac{7}{4}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{7}{4} लाई \frac{75}{92} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{59}{23}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{59}{23},y=-\frac{15}{23}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x+5y=7,3x-2y=9$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-5\times 3}&-\frac{5}{4\left(-2\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-2\right)-5\times 3}&\frac{4}{4\left(-2\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\\\frac{3}{23}&-\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}\times 7+\frac{5}{23}\times 9\\\frac{3}{23}\times 7-\frac{4}{23}\times 9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{59}{23}\\-\frac{15}{23}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{59}{23},y=-\frac{15}{23}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4x+5y=7,3x-2y=9$$

4x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 4x+3\times 5y=3\times 7,4\times 3x+4\left(-2\right)y=4\times 9$$

सरल गर्नुहोस्।

$$12x+15y=21,12x-8y=36$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 12x+15y=21 बाट 12x-8y=36 घटाउनुहोस्।

$$12x-12x+15y+8y=21-36$$

-12x मा 12x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 12x र -12x राशी रद्द हुन्छन्।

$$15y+8y=21-36$$

8y मा 15y जोड्नुहोस्

$$23y=21-36$$

-36 मा 21 जोड्नुहोस्

$$23y=-15$$

दुबैतिर 23 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{15}{23}$$

3x-2y=9 मा y लाई -\frac{15}{23} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x-2\left(-\frac{15}{23}\right)=9$$

-2 लाई -\frac{15}{23} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x+\frac{30}{23}=9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{30}{23} घटाउनुहोस्।

$$3x=\frac{177}{23}$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{59}{23}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{59}{23},y=-\frac{15}{23}$$