समाधान {l}{4x+5y=2}{3x+4y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 2 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=3$$

$$y=-2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4x+5y=2,3x+4y=1$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4x+5y=2$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5y घटाउनुहोस्।

$$4x=-5y+2$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+2\right)$$

\frac{1}{4} लाई -5y+2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

-\frac{5y}{4}+\frac{1}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 3x+4y=1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(-\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}\right)+4y=1$$

3 लाई -\frac{5y}{4}+\frac{1}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{15}{4}y+\frac{3}{2}+4y=1$$

4y मा -\frac{15y}{4} जोड्नुहोस्

$$\frac{1}{4}y+\frac{3}{2}=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{3}{2} घटाउनुहोस्।

$$\frac{1}{4}y=-\frac{1}{2}$$

दुबैतिर 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$y=-2$$

x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{2} मा y लाई -2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{5}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

-\frac{5}{4} लाई -2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{5+1}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1}{2} लाई \frac{5}{2} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=3,y=-2$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x+5y=2,3x+4y=1$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-5\times 3}&-\frac{5}{4\times 4-5\times 3}\\-\frac{3}{4\times 4-5\times 3}&\frac{4}{4\times 4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 2-5\\-3\times 2+4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=3,y=-2$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4x+5y=2,3x+4y=1$$

4x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 4x+3\times 5y=3\times 2,4\times 3x+4\times 4y=4$$

सरल गर्नुहोस्।

$$12x+15y=6,12x+16y=4$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 12x+15y=6 बाट 12x+16y=4 घटाउनुहोस्।

$$12x-12x+15y-16y=6-4$$

-12x मा 12x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 12x र -12x राशी रद्द हुन्छन्।

$$15y-16y=6-4$$

-16y मा 15y जोड्नुहोस्

$$-y=6-4$$

-4 मा 6 जोड्नुहोस्

$$-y=2$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-2$$

3x+4y=1 मा y लाई -2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x+4\left(-2\right)=1$$

4 लाई -2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x-8=1$$

समीकरणको दुबैतिर 8 जोड्नुहोस्।

$$3x=9$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=3,y=-2$$