समाधान {l}{4x+5y=1}{5x-7y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 1 } \\ { 5 x - 7 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{12}{53}\approx 0.226415094$$

$$y=\frac{1}{53}\approx 0.018867925$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4x+5y=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5y घटाउनुहोस्।

$$4x=-5y+1$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+1\right)$$

\frac{1}{4} लाई -5y+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}$$

\frac{-5y+1}{4} लाई x ले अर्को समीकरण 5x-7y=1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\left(-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}\right)-7y=1$$

5 लाई \frac{-5y+1}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{25}{4}y+\frac{5}{4}-7y=1$$

-7y मा -\frac{25y}{4} जोड्नुहोस्

$$-\frac{53}{4}y+\frac{5}{4}=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{5}{4} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{53}{4}y=-\frac{1}{4}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{53}{4} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{1}{53}$$

x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4} मा y लाई \frac{1}{53} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{1}{53}+\frac{1}{4}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{5}{4} लाई \frac{1}{53} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{212}+\frac{1}{4}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1}{4} लाई -\frac{5}{212} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{12}{53}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4\left(-7\right)-5\times 5}&-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}\\-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}&\frac{4}{4\left(-7\right)-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}&\frac{5}{53}\\\frac{5}{53}&-\frac{4}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7+5}{53}\\\frac{5-4}{53}\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{53}\\\frac{1}{53}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

4x र 5x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5\times 4x+5\times 5y=5,4\times 5x+4\left(-7\right)y=4$$

सरल गर्नुहोस्।

$$20x+25y=5,20x-28y=4$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 20x+25y=5 बाट 20x-28y=4 घटाउनुहोस्।

$$20x-20x+25y+28y=5-4$$

-20x मा 20x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 20x र -20x राशी रद्द हुन्छन्।

$$25y+28y=5-4$$

28y मा 25y जोड्नुहोस्

$$53y=5-4$$

-4 मा 5 जोड्नुहोस्

$$53y=1$$

दुबैतिर 53 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{53}$$

5x-7y=1 मा y लाई \frac{1}{53} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$5x-7\times \frac{1}{53}=1$$

-7 लाई \frac{1}{53} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$5x-\frac{7}{53}=1$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{7}{53} जोड्नुहोस्।

$$5x=\frac{60}{53}$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{12}{53}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$