समाधान {l}{4x+3y=18}{x+5y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 18 } \\ { x + 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{84}{17} = 4\frac{16}{17} \approx 4.941176471$$

$$y=-\frac{10}{17}\approx -0.588235294$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4x+3y=18,x+5y=2$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4x+3y=18$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$4x=-3y+18$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+18\right)$$

\frac{1}{4} लाई -3y+18 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{2}$$

-\frac{3y}{4}+\frac{9}{2} लाई x ले अर्को समीकरण x+5y=2 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\frac{3}{4}y+\frac{9}{2}+5y=2$$

5y मा -\frac{3y}{4} जोड्नुहोस्

$$\frac{17}{4}y+\frac{9}{2}=2$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{9}{2} घटाउनुहोस्।

$$\frac{17}{4}y=-\frac{5}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{17}{4} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{10}{17}$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{2} मा y लाई -\frac{10}{17} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{3}{4}\left(-\frac{10}{17}\right)+\frac{9}{2}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{3}{4} लाई -\frac{10}{17} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{15}{34}+\frac{9}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{9}{2} लाई \frac{15}{34} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{84}{17}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{84}{17},y=-\frac{10}{17}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x+3y=18,x+5y=2$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3}&-\frac{3}{4\times 5-3}\\-\frac{1}{4\times 5-3}&\frac{4}{4\times 5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&-\frac{3}{17}\\-\frac{1}{17}&\frac{4}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\times 18-\frac{3}{17}\times 2\\-\frac{1}{17}\times 18+\frac{4}{17}\times 2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{84}{17}\\-\frac{10}{17}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{84}{17},y=-\frac{10}{17}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4x+3y=18,x+5y=2$$

4x र x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4x+3y=18,4x+4\times 5y=4\times 2$$

सरल गर्नुहोस्।

$$4x+3y=18,4x+20y=8$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 4x+3y=18 बाट 4x+20y=8 घटाउनुहोस्।

$$4x-4x+3y-20y=18-8$$

-4x मा 4x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 4x र -4x राशी रद्द हुन्छन्।

$$3y-20y=18-8$$

-20y मा 3y जोड्नुहोस्

$$-17y=18-8$$

-8 मा 18 जोड्नुहोस्

$$-17y=10$$

दुबैतिर -17 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{10}{17}$$

x+5y=2 मा y लाई -\frac{10}{17} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x+5\left(-\frac{10}{17}\right)=2$$

5 लाई -\frac{10}{17} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x-\frac{50}{17}=2$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{50}{17} जोड्नुहोस्।

$$x=\frac{84}{17}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{84}{17},y=-\frac{10}{17}$$