समाधान {l}{4x+3y=13}{3x+6y=26}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 13 } \\ { 3 x + 6 y = 26 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=0$$

$$y = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4.333333333$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4x+3y=13,3x+6y=26$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4x+3y=13$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$4x=-3y+13$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+13\right)$$

\frac{1}{4} लाई -3y+13 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}$$

\frac{-3y+13}{4} लाई x ले अर्को समीकरण 3x+6y=26 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}\right)+6y=26$$

3 लाई \frac{-3y+13}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{9}{4}y+\frac{39}{4}+6y=26$$

6y मा -\frac{9y}{4} जोड्नुहोस्

$$\frac{15}{4}y+\frac{39}{4}=26$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{39}{4} घटाउनुहोस्।

$$\frac{15}{4}y=\frac{65}{4}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{15}{4} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{13}{3}$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4} मा y लाई \frac{13}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{13}{3}+\frac{13}{4}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{3}{4} लाई \frac{13}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{-13+13}{4}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{13}{4} लाई -\frac{13}{4} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=0$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=0,y=\frac{13}{3}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x+3y=13,3x+6y=26$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-3\times 3}&-\frac{3}{4\times 6-3\times 3}\\-\frac{3}{4\times 6-3\times 3}&\frac{4}{4\times 6-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 13-\frac{1}{5}\times 26\\-\frac{1}{5}\times 13+\frac{4}{15}\times 26\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=0,y=\frac{13}{3}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4x+3y=13,3x+6y=26$$

4x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 4x+3\times 3y=3\times 13,4\times 3x+4\times 6y=4\times 26$$

सरल गर्नुहोस्।

$$12x+9y=39,12x+24y=104$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 12x+9y=39 बाट 12x+24y=104 घटाउनुहोस्।

$$12x-12x+9y-24y=39-104$$

-12x मा 12x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 12x र -12x राशी रद्द हुन्छन्।

$$9y-24y=39-104$$

-24y मा 9y जोड्नुहोस्

$$-15y=39-104$$

-104 मा 39 जोड्नुहोस्

$$-15y=-65$$

दुबैतिर -15 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{13}{3}$$

3x+6y=26 मा y लाई \frac{13}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x+6\times \frac{13}{3}=26$$

6 लाई \frac{13}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x+26=26$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 26 घटाउनुहोस्।

$$3x=0$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=0$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=0,y=\frac{13}{3}$$