समाधान {l}{4x+3y=10700}{3x+4y=10300}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 10700 } \\ { 3 x + 4 y = 10300 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=1700$$

$$y=1300$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4x+3y=10700,3x+4y=10300$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4x+3y=10700$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$4x=-3y+10700$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+10700\right)$$

\frac{1}{4} लाई -3y+10700 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{4}y+2675$$

-\frac{3y}{4}+2675 लाई x ले अर्को समीकरण 3x+4y=10300 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(-\frac{3}{4}y+2675\right)+4y=10300$$

3 लाई -\frac{3y}{4}+2675 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{9}{4}y+8025+4y=10300$$

4y मा -\frac{9y}{4} जोड्नुहोस्

$$\frac{7}{4}y+8025=10300$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 8025 घटाउनुहोस्।

$$\frac{7}{4}y=2275$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{7}{4} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=1300$$

x=-\frac{3}{4}y+2675 मा y लाई 1300 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{3}{4}\times 1300+2675$$

-\frac{3}{4} लाई 1300 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-975+2675$$

-975 मा 2675 जोड्नुहोस्

$$x=1700$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1700,y=1300$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x+3y=10700,3x+4y=10300$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10700\\10300\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&3\\3&4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10700\\10300\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10700\\10300\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10700\\10300\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{4\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{4\times 4-3\times 3}&\frac{4}{4\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10700\\10300\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10700\\10300\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\times 10700-\frac{3}{7}\times 10300\\-\frac{3}{7}\times 10700+\frac{4}{7}\times 10300\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1700\\1300\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=1700,y=1300$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4x+3y=10700,3x+4y=10300$$

4x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 4x+3\times 3y=3\times 10700,4\times 3x+4\times 4y=4\times 10300$$

सरल गर्नुहोस्।

$$12x+9y=32100,12x+16y=41200$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 12x+9y=32100 बाट 12x+16y=41200 घटाउनुहोस्।

$$12x-12x+9y-16y=32100-41200$$

-12x मा 12x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 12x र -12x राशी रद्द हुन्छन्।

$$9y-16y=32100-41200$$

-16y मा 9y जोड्नुहोस्

$$-7y=32100-41200$$

-41200 मा 32100 जोड्नुहोस्

$$-7y=-9100$$

दुबैतिर -7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=1300$$

3x+4y=10300 मा y लाई 1300 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x+4\times 1300=10300$$

4 लाई 1300 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x+5200=10300$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5200 घटाउनुहोस्।

$$3x=5100$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=1700$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1700,y=1300$$