समाधान {l}{4x+2y=6}{5x-3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 6 } \\ { 5 x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{18}{11} = 1\frac{7}{11} \approx 1.636363636$$

$$y=-\frac{3}{11}\approx -0.272727273$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4x+2y=6,5x-3y=9$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4x+2y=6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$4x=-2y+6$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+6\right)$$

\frac{1}{4} लाई -2y+6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

\frac{-y+3}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 5x-3y=9 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)-3y=9$$

5 लाई \frac{-y+3}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}-3y=9$$

-3y मा -\frac{5y}{2} जोड्नुहोस्

$$-\frac{11}{2}y+\frac{15}{2}=9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{15}{2} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{11}{2}y=\frac{3}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{11}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{3}{11}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} मा y लाई -\frac{3}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{11}\right)+\frac{3}{2}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{2} लाई -\frac{3}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{22}+\frac{3}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{3}{2} लाई \frac{3}{22} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{18}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{18}{11},y=-\frac{3}{11}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x+2y=6,5x-3y=9$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-2\times 5}&-\frac{2}{4\left(-3\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{4\left(-3\right)-2\times 5}&\frac{4}{4\left(-3\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 6+\frac{1}{11}\times 9\\\frac{5}{22}\times 6-\frac{2}{11}\times 9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{11}\\-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{18}{11},y=-\frac{3}{11}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4x+2y=6,5x-3y=9$$

4x र 5x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5\times 4x+5\times 2y=5\times 6,4\times 5x+4\left(-3\right)y=4\times 9$$

सरल गर्नुहोस्।

$$20x+10y=30,20x-12y=36$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 20x+10y=30 बाट 20x-12y=36 घटाउनुहोस्।

$$20x-20x+10y+12y=30-36$$

-20x मा 20x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 20x र -20x राशी रद्द हुन्छन्।

$$10y+12y=30-36$$

12y मा 10y जोड्नुहोस्

$$22y=30-36$$

-36 मा 30 जोड्नुहोस्

$$22y=-6$$

दुबैतिर 22 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{3}{11}$$

5x-3y=9 मा y लाई -\frac{3}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$5x-3\left(-\frac{3}{11}\right)=9$$

-3 लाई -\frac{3}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$5x+\frac{9}{11}=9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{9}{11} घटाउनुहोस्।

$$5x=\frac{90}{11}$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{18}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{18}{11},y=-\frac{3}{11}$$