समाधान {l}{4a_{1}+6d=3}{3a_{1}+21d=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a _ { 1 } + 6 d = 3 } \\ { 3 a _ { 1 } + 21 d = 4 } \end{array} \right.$$

a_1, d को लागि हल गर्नुहोस्

$$a_{1}=\frac{13}{22}\approx 0.590909091$$

$$d=\frac{7}{66}\approx 0.106060606$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको a_{1} लाई अलग गरी a_{1} का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4a_{1}+6d=3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 6d घटाउनुहोस्।

$$4a_{1}=-6d+3$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a_{1}=\frac{1}{4}\left(-6d+3\right)$$

\frac{1}{4} लाई -6d+3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}$$

-\frac{3d}{2}+\frac{3}{4} लाई a_{1} ले अर्को समीकरण 3a_{1}+21d=4 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}\right)+21d=4$$

3 लाई -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{9}{2}d+\frac{9}{4}+21d=4$$

21d मा -\frac{9d}{2} जोड्नुहोस्

$$\frac{33}{2}d+\frac{9}{4}=4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{9}{4} घटाउनुहोस्।

$$\frac{33}{2}d=\frac{7}{4}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{33}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$d=\frac{7}{66}$$

a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4} मा d लाई \frac{7}{66} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a_{1} लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a_{1}=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{66}+\frac{3}{4}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{3}{2} लाई \frac{7}{66} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$a_{1}=-\frac{7}{44}+\frac{3}{4}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{3}{4} लाई -\frac{7}{44} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4\times 21-6\times 3}&-\frac{6}{4\times 21-6\times 3}\\-\frac{3}{4\times 21-6\times 3}&\frac{4}{4\times 21-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}&-\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}\times 3-\frac{1}{11}\times 4\\-\frac{1}{22}\times 3+\frac{2}{33}\times 4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{22}\\\frac{7}{66}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू a_{1} र d लाई ता्नुहोस्।

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

4a_{1} र 3a_{1} लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 4a_{1}+3\times 6d=3\times 3,4\times 3a_{1}+4\times 21d=4\times 4$$

सरल गर्नुहोस्।

$$12a_{1}+18d=9,12a_{1}+84d=16$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 12a_{1}+18d=9 बाट 12a_{1}+84d=16 घटाउनुहोस्।

$$12a_{1}-12a_{1}+18d-84d=9-16$$

-12a_{1} मा 12a_{1} जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 12a_{1} र -12a_{1} राशी रद्द हुन्छन्।

$$18d-84d=9-16$$

-84d मा 18d जोड्नुहोस्

$$-66d=9-16$$

-16 मा 9 जोड्नुहोस्

$$-66d=-7$$

दुबैतिर -66 ले भाग गर्नुहोस्।

$$d=\frac{7}{66}$$

3a_{1}+21d=4 मा d लाई \frac{7}{66} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a_{1} लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3a_{1}+21\times \frac{7}{66}=4$$

21 लाई \frac{7}{66} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3a_{1}+\frac{49}{22}=4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{49}{22} घटाउनुहोस्।

$$3a_{1}=\frac{39}{22}$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$