समाधान {l}{4a+5v=28}{6a+3v=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a + 5 v = 28 } \\ { 6 a + 3 v = 24 } \end{array} \right.$$

a, v को लागि हल गर्नुहोस्

$$a=2$$

$$v=4$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4a+5v=28,6a+3v=24$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको a लाई अलग गरी a का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4a+5v=28$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5v घटाउनुहोस्।

$$4a=-5v+28$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=\frac{1}{4}\left(-5v+28\right)$$

\frac{1}{4} लाई -5v+28 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=-\frac{5}{4}v+7$$

-\frac{5v}{4}+7 लाई a ले अर्को समीकरण 6a+3v=24 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6\left(-\frac{5}{4}v+7\right)+3v=24$$

6 लाई -\frac{5v}{4}+7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{15}{2}v+42+3v=24$$

3v मा -\frac{15v}{2} जोड्नुहोस्

$$-\frac{9}{2}v+42=24$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 42 घटाउनुहोस्।

$$-\frac{9}{2}v=-18$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{9}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$v=4$$

a=-\frac{5}{4}v+7 मा v लाई 4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a=-\frac{5}{4}\times 4+7$$

-\frac{5}{4} लाई 4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=-5+7$$

-5 मा 7 जोड्नुहोस्

$$a=2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=2,v=4$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4a+5v=28,6a+3v=24$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-5\times 6}&-\frac{5}{4\times 3-5\times 6}\\-\frac{6}{4\times 3-5\times 6}&\frac{4}{4\times 3-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{5}{18}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 28+\frac{5}{18}\times 24\\\frac{1}{3}\times 28-\frac{2}{9}\times 24\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू a र v लाई ता्नुहोस्।

$$a=2,v=4$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4a+5v=28,6a+3v=24$$

4a र 6a लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$6\times 4a+6\times 5v=6\times 28,4\times 6a+4\times 3v=4\times 24$$

सरल गर्नुहोस्।

$$24a+30v=168,24a+12v=96$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 24a+30v=168 बाट 24a+12v=96 घटाउनुहोस्।

$$24a-24a+30v-12v=168-96$$

-24a मा 24a जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 24a र -24a राशी रद्द हुन्छन्।

$$30v-12v=168-96$$

-12v मा 30v जोड्नुहोस्

$$18v=168-96$$

-96 मा 168 जोड्नुहोस्

$$18v=72$$

दुबैतिर 18 ले भाग गर्नुहोस्।

$$v=4$$

6a+3v=24 मा v लाई 4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$6a+3\times 4=24$$

3 लाई 4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$6a+12=24$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 12 घटाउनुहोस्।

$$6a=12$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=2,v=4$$