समाधान {l}{4a+5b=9}{2a-b=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a + 5 b = 9 } \\ { 2 a - b = 7 } \end{array} \right.$$

a, b को लागि हल गर्नुहोस्

$$a = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7} \approx 3.142857143$$

$$b=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको a लाई अलग गरी a का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4a+5b=9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5b घटाउनुहोस्।

$$4a=-5b+9$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=\frac{1}{4}\left(-5b+9\right)$$

\frac{1}{4} लाई -5b+9 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}$$

\frac{-5b+9}{4} लाई a ले अर्को समीकरण 2a-b=7 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}\right)-b=7$$

2 लाई \frac{-5b+9}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{5}{2}b+\frac{9}{2}-b=7$$

-b मा -\frac{5b}{2} जोड्नुहोस्

$$-\frac{7}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{9}{2} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{7}{2}b=\frac{5}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{7}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$b=-\frac{5}{7}$$

a=-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4} मा b लाई -\frac{5}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a=-\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{7}\right)+\frac{9}{4}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{5}{4} लाई -\frac{5}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$a=\frac{25}{28}+\frac{9}{4}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{9}{4} लाई \frac{25}{28} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$a=\frac{22}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-5\times 2}&-\frac{5}{4\left(-1\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-5\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 9+\frac{5}{14}\times 7\\\frac{1}{7}\times 9-\frac{2}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{7}\\-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू a र b लाई ता्नुहोस्।

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

4a र 2a लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 4a+2\times 5b=2\times 9,4\times 2a+4\left(-1\right)b=4\times 7$$

सरल गर्नुहोस्।

$$8a+10b=18,8a-4b=28$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 8a+10b=18 बाट 8a-4b=28 घटाउनुहोस्।

$$8a-8a+10b+4b=18-28$$

-8a मा 8a जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 8a र -8a राशी रद्द हुन्छन्।

$$10b+4b=18-28$$

4b मा 10b जोड्नुहोस्

$$14b=18-28$$

-28 मा 18 जोड्नुहोस्

$$14b=-10$$

दुबैतिर 14 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=-\frac{5}{7}$$

2a-b=7 मा b लाई -\frac{5}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2a-\left(-\frac{5}{7}\right)=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{5}{7} घटाउनुहोस्।

$$2a=\frac{44}{7}$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=\frac{22}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$