समाधान {l}{4+7y=x}{3x-14y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 + 7 y = x } \\ { 3 x - 14 y = 9 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=1$$

$$y=-\frac{3}{7}\approx -0.428571429$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट x घटाउनुहोस्।

$$4+7y-x=0$$

दुवै छेउबाट 4 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$7y-x=-4$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$7y-x=-4,-14y+3x=9$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$7y-x=-4$$

समीकरणको दुबैतिर x जोड्नुहोस्।

$$7y=x-4$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{7}\left(x-4\right)$$

\frac{1}{7} लाई x-4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{7}x-\frac{4}{7}$$

\frac{-4+x}{7} लाई y ले अर्को समीकरण -14y+3x=9 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-14\left(\frac{1}{7}x-\frac{4}{7}\right)+3x=9$$

-14 लाई \frac{-4+x}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-2x+8+3x=9$$

3x मा -2x जोड्नुहोस्

$$x+8=9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 8 घटाउनुहोस्।

$$x=1$$

y=\frac{1}{7}x-\frac{4}{7} मा x लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=\frac{1-4}{7}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{4}{7} लाई \frac{1}{7} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$y=-\frac{3}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-\frac{3}{7},x=1$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट x घटाउनुहोस्।

$$4+7y-x=0$$

दुवै छेउबाट 4 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$7y-x=-4$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$7y-x=-4,-14y+3x=9$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\-14&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}7&-1\\-14&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\-14&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\-14&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\-14&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\9\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\-14&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\9\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\-14&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7\times 3-\left(-\left(-14\right)\right)}&-\frac{-1}{7\times 3-\left(-\left(-14\right)\right)}\\-\frac{-14}{7\times 3-\left(-\left(-14\right)\right)}&\frac{7}{7\times 3-\left(-\left(-14\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\9\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-4\right)+\frac{1}{7}\times 9\\2\left(-4\right)+9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=-\frac{3}{7},x=1$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट x घटाउनुहोस्।

$$4+7y-x=0$$

दुवै छेउबाट 4 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$7y-x=-4$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$7y-x=-4,-14y+3x=9$$

7y र -14y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -14 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 7 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-14\times 7y-14\left(-1\right)x=-14\left(-4\right),7\left(-14\right)y+7\times 3x=7\times 9$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-98y+14x=56,-98y+21x=63$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -98y+14x=56 बाट -98y+21x=63 घटाउनुहोस्।

$$-98y+98y+14x-21x=56-63$$

98y मा -98y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -98y र 98y राशी रद्द हुन्छन्।

$$14x-21x=56-63$$

-21x मा 14x जोड्नुहोस्

$$-7x=56-63$$

-63 मा 56 जोड्नुहोस्

$$-7x=-7$$

दुबैतिर -7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=1$$

-14y+3x=9 मा x लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-14y+3=9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3 घटाउनुहोस्।

$$-14y=6$$

दुबैतिर -14 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{3}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-\frac{3}{7},x=1$$