समाधान {l}{36x-5y=7}{6x+3y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 36 x - 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{61}{138}\approx 0.442028986$$

$$y = \frac{41}{23} = 1\frac{18}{23} \approx 1.782608696$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$36x-5y=7$$

समीकरणको दुबैतिर 5y जोड्नुहोस्।

$$36x=5y+7$$

दुबैतिर 36 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{36}\left(5y+7\right)$$

\frac{1}{36} लाई 5y+7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}$$

\frac{5y+7}{36} लाई x ले अर्को समीकरण 6x+3y=8 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6\left(\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}\right)+3y=8$$

6 लाई \frac{5y+7}{36} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{5}{6}y+\frac{7}{6}+3y=8$$

3y मा \frac{5y}{6} जोड्नुहोस्

$$\frac{23}{6}y+\frac{7}{6}=8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{7}{6} घटाउनुहोस्।

$$\frac{23}{6}y=\frac{41}{6}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{23}{6} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{41}{23}$$

x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36} मा y लाई \frac{41}{23} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{5}{36}\times \frac{41}{23}+\frac{7}{36}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{5}{36} लाई \frac{41}{23} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{205}{828}+\frac{7}{36}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{7}{36} लाई \frac{205}{828} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{61}{138}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&\frac{36}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}&\frac{5}{138}\\-\frac{1}{23}&\frac{6}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}\times 7+\frac{5}{138}\times 8\\-\frac{1}{23}\times 7+\frac{6}{23}\times 8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{61}{138}\\\frac{41}{23}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

36x र 6x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 36 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$6\times 36x+6\left(-5\right)y=6\times 7,36\times 6x+36\times 3y=36\times 8$$

सरल गर्नुहोस्।

$$216x-30y=42,216x+108y=288$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 216x-30y=42 बाट 216x+108y=288 घटाउनुहोस्।

$$216x-216x-30y-108y=42-288$$

-216x मा 216x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 216x र -216x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-30y-108y=42-288$$

-108y मा -30y जोड्नुहोस्

$$-138y=42-288$$

-288 मा 42 जोड्नुहोस्

$$-138y=-246$$

दुबैतिर -138 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{41}{23}$$

6x+3y=8 मा y लाई \frac{41}{23} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$6x+3\times \frac{41}{23}=8$$

3 लाई \frac{41}{23} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$6x+\frac{123}{23}=8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{123}{23} घटाउनुहोस्।

$$6x=\frac{61}{23}$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{61}{138}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$