समाधान {l}{3y+x=31}{2y+3x=44}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + x = 31 } \\ { 2 y + 3 x = 44 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=10$$

$$y=7$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3y+x=31$$

समीकरणको दुबैतिरबाट x घटाउनुहोस्।

$$3y=-x+31$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{3}\left(-x+31\right)$$

\frac{1}{3} लाई -x+31 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}$$

\frac{-x+31}{3} लाई y ले अर्को समीकरण 2y+3x=44 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}\right)+3x=44$$

2 लाई \frac{-x+31}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{2}{3}x+\frac{62}{3}+3x=44$$

3x मा -\frac{2x}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{7}{3}x+\frac{62}{3}=44$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{62}{3} घटाउनुहोस्।

$$\frac{7}{3}x=\frac{70}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{7}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=10$$

y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3} मा x लाई 10 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=-\frac{1}{3}\times 10+\frac{31}{3}$$

-\frac{1}{3} लाई 10 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{-10+31}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{31}{3} लाई -\frac{10}{3} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$y=7$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=7,x=10$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2}&-\frac{1}{3\times 3-2}\\-\frac{2}{3\times 3-2}&\frac{3}{3\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 31-\frac{1}{7}\times 44\\-\frac{2}{7}\times 31+\frac{3}{7}\times 44\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=7,x=10$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

3y र 2y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 3y+2x=2\times 31,3\times 2y+3\times 3x=3\times 44$$

सरल गर्नुहोस्।

$$6y+2x=62,6y+9x=132$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 6y+2x=62 बाट 6y+9x=132 घटाउनुहोस्।

$$6y-6y+2x-9x=62-132$$

-6y मा 6y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 6y र -6y राशी रद्द हुन्छन्।

$$2x-9x=62-132$$

-9x मा 2x जोड्नुहोस्

$$-7x=62-132$$

-132 मा 62 जोड्नुहोस्

$$-7x=-70$$

दुबैतिर -7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=10$$

2y+3x=44 मा x लाई 10 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2y+3\times 10=44$$

3 लाई 10 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2y+30=44$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 30 घटाउनुहोस्।

$$2y=14$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=7$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=7,x=10$$