समाधान {l}{3y+4x=-16}{3x-4y=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + 4 x = - 16 } \\ { 3 x - 4 y = - 2 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{14}{5} = -2\frac{4}{5} = -2.8$$

$$y = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3y+4x=-16,-4y+3x=-2$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3y+4x=-16$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4x घटाउनुहोस्।

$$3y=-4x-16$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{3}\left(-4x-16\right)$$

\frac{1}{3} लाई -4x-16 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{4}{3}x-\frac{16}{3}$$

\frac{-4x-16}{3} लाई y ले अर्को समीकरण -4y+3x=-2 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-4\left(-\frac{4}{3}x-\frac{16}{3}\right)+3x=-2$$

-4 लाई \frac{-4x-16}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{16}{3}x+\frac{64}{3}+3x=-2$$

3x मा \frac{16x}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{25}{3}x+\frac{64}{3}=-2$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{64}{3} घटाउनुहोस्।

$$\frac{25}{3}x=-\frac{70}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{25}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=-\frac{14}{5}$$

y=-\frac{4}{3}x-\frac{16}{3} मा x लाई -\frac{14}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=-\frac{4}{3}\left(-\frac{14}{5}\right)-\frac{16}{3}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{4}{3} लाई -\frac{14}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$y=\frac{56}{15}-\frac{16}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{16}{3} लाई \frac{56}{15} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$y=-\frac{8}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-\frac{8}{5},x=-\frac{14}{5}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3y+4x=-16,-4y+3x=-2$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&4\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&4\\-4&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-4\left(-4\right)}&-\frac{4}{3\times 3-4\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3\times 3-4\left(-4\right)}&\frac{3}{3\times 3-4\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}&-\frac{4}{25}\\\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\left(-16\right)-\frac{4}{25}\left(-2\right)\\\frac{4}{25}\left(-16\right)+\frac{3}{25}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{5}\\-\frac{14}{5}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=-\frac{8}{5},x=-\frac{14}{5}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3y+4x=-16,-4y+3x=-2$$

3y र -4y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-4\times 3y-4\times 4x=-4\left(-16\right),3\left(-4\right)y+3\times 3x=3\left(-2\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-12y-16x=64,-12y+9x=-6$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -12y-16x=64 बाट -12y+9x=-6 घटाउनुहोस्।

$$-12y+12y-16x-9x=64+6$$

12y मा -12y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -12y र 12y राशी रद्द हुन्छन्।

$$-16x-9x=64+6$$

-9x मा -16x जोड्नुहोस्

$$-25x=64+6$$

6 मा 64 जोड्नुहोस्

$$-25x=70$$

दुबैतिर -25 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{14}{5}$$

-4y+3x=-2 मा x लाई -\frac{14}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-4y+3\left(-\frac{14}{5}\right)=-2$$

3 लाई -\frac{14}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-4y-\frac{42}{5}=-2$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{42}{5} जोड्नुहोस्।

$$-4y=\frac{32}{5}$$

दुबैतिर -4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{8}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-\frac{8}{5},x=-\frac{14}{5}$$