समाधान {l}{3y+2x=75}{x+y=50}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + 2 x = 75 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=75$$

$$y=-25$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3y+2x=75,y+x=50$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3y+2x=75$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$3y=-2x+75$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{3}\left(-2x+75\right)$$

\frac{1}{3} लाई -2x+75 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{2}{3}x+25$$

-\frac{2x}{3}+25 लाई y ले अर्को समीकरण y+x=50 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\frac{2}{3}x+25+x=50$$

x मा -\frac{2x}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{1}{3}x+25=50$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 25 घटाउनुहोस्।

$$\frac{1}{3}x=25$$

दुबैतिर 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$x=75$$

y=-\frac{2}{3}x+25 मा x लाई 75 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=-\frac{2}{3}\times 75+25$$

-\frac{2}{3} लाई 75 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=-50+25$$

-50 मा 25 जोड्नुहोस्

$$y=-25$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-25,x=75$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3y+2x=75,y+x=50$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{2}{3-2}\\-\frac{1}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75-2\times 50\\-75+3\times 50\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\75\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=-25,x=75$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3y+2x=75,y+x=50$$

3y र y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3y+2x=75,3y+3x=3\times 50$$

सरल गर्नुहोस्।

$$3y+2x=75,3y+3x=150$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 3y+2x=75 बाट 3y+3x=150 घटाउनुहोस्।

$$3y-3y+2x-3x=75-150$$

-3y मा 3y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 3y र -3y राशी रद्द हुन्छन्।

$$2x-3x=75-150$$

-3x मा 2x जोड्नुहोस्

$$-x=75-150$$

-150 मा 75 जोड्नुहोस्

$$-x=-75$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=75$$

y+x=50 मा x लाई 75 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y+75=50$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 75 घटाउनुहोस्।

$$y=-25$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-25,x=75$$