समाधान {l}{3x-4y=-9}{2x+5y=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = - 9 } \\ { 2 x + 5 y = - 6 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-3$$

$$y=0$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x-4y=-9,2x+5y=-6$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x-4y=-9$$

समीकरणको दुबैतिर 4y जोड्नुहोस्।

$$3x=4y-9$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(4y-9\right)$$

\frac{1}{3} लाई 4y-9 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{4}{3}y-3$$

\frac{4y}{3}-3 लाई x ले अर्को समीकरण 2x+5y=-6 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(\frac{4}{3}y-3\right)+5y=-6$$

2 लाई \frac{4y}{3}-3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{8}{3}y-6+5y=-6$$

5y मा \frac{8y}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{23}{3}y-6=-6$$

समीकरणको दुबैतिर 6 जोड्नुहोस्।

$$\frac{23}{3}y=0$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{23}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=0$$

x=\frac{4}{3}y-3 मा y लाई 0 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-3,y=0$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x-4y=-9,2x+5y=-6$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-6\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&-4\\2&5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-6\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-6\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\times 5-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{4}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-6\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\left(-9\right)+\frac{4}{23}\left(-6\right)\\-\frac{2}{23}\left(-9\right)+\frac{3}{23}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-3,y=0$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x-4y=-9,2x+5y=-6$$

3x र 2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 3x+2\left(-4\right)y=2\left(-9\right),3\times 2x+3\times 5y=3\left(-6\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$6x-8y=-18,6x+15y=-18$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 6x-8y=-18 बाट 6x+15y=-18 घटाउनुहोस्।

$$6x-6x-8y-15y=-18+18$$

-6x मा 6x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 6x र -6x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-8y-15y=-18+18$$

-15y मा -8y जोड्नुहोस्

$$-23y=-18+18$$

18 मा -18 जोड्नुहोस्

$$-23y=0$$

दुबैतिर -23 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=0$$

2x+5y=-6 मा y लाई 0 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2x=-6$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-3,y=0$$