समाधान {l}{3x-3y=2}{4x+7y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 3 y = 2 } \\ { 4 x + 7 y = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{5}{33}\approx 0.151515152$$

$$y=-\frac{17}{33}\approx -0.515151515$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x-3y=2$$

समीकरणको दुबैतिर 3y जोड्नुहोस्।

$$3x=3y+2$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(3y+2\right)$$

\frac{1}{3} लाई 3y+2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=y+\frac{2}{3}$$

y+\frac{2}{3} लाई x ले अर्को समीकरण 4x+7y=-3 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(y+\frac{2}{3}\right)+7y=-3$$

4 लाई y+\frac{2}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4y+\frac{8}{3}+7y=-3$$

7y मा 4y जोड्नुहोस्

$$11y+\frac{8}{3}=-3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{8}{3} घटाउनुहोस्।

$$11y=-\frac{17}{3}$$

दुबैतिर 11 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{17}{33}$$

x=y+\frac{2}{3} मा y लाई -\frac{17}{33} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{17}{33}+\frac{2}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{2}{3} लाई -\frac{17}{33} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{33}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{33}&\frac{1}{11}\\-\frac{4}{33}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{33}\times 2+\frac{1}{11}\left(-3\right)\\-\frac{4}{33}\times 2+\frac{1}{11}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{33}\\-\frac{17}{33}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

3x र 4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\times 3x+4\left(-3\right)y=4\times 2,3\times 4x+3\times 7y=3\left(-3\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$12x-12y=8,12x+21y=-9$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 12x-12y=8 बाट 12x+21y=-9 घटाउनुहोस्।

$$12x-12x-12y-21y=8+9$$

-12x मा 12x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 12x र -12x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-12y-21y=8+9$$

-21y मा -12y जोड्नुहोस्

$$-33y=8+9$$

9 मा 8 जोड्नुहोस्

$$-33y=17$$

दुबैतिर -33 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{17}{33}$$

4x+7y=-3 मा y लाई -\frac{17}{33} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4x+7\left(-\frac{17}{33}\right)=-3$$

7 लाई -\frac{17}{33} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4x-\frac{119}{33}=-3$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{119}{33} जोड्नुहोस्।

$$4x=\frac{20}{33}$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{33}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$