समाधान {l}{3x-2y=5}{-5-x+2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { - 5 - x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

$$y = \frac{47}{4} = 11\frac{3}{4} = 11.75$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x-2y=5$$

समीकरणको दुबैतिर 2y जोड्नुहोस्।

$$3x=2y+5$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

\frac{1}{3} लाई 2y+5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

\frac{2y+5}{3} लाई x ले अर्को समीकरण -x+2y-5=9 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y-5=9$$

-1 लाई \frac{2y+5}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{2}{3}y-\frac{5}{3}+2y-5=9$$

2y मा -\frac{2y}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{4}{3}y-\frac{5}{3}-5=9$$

-5 मा -\frac{5}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}=9$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{20}{3} जोड्नुहोस्।

$$\frac{4}{3}y=\frac{47}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{4}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{47}{4}$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3} मा y लाई \frac{47}{4} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{47}{4}+\frac{5}{3}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{2}{3} लाई \frac{47}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{47}{6}+\frac{5}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{5}{3} लाई \frac{47}{6} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{19}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\\frac{47}{4}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

3x र -x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-3x-\left(-2y\right)=-5,3\left(-1\right)x+3\times 2y+3\left(-5\right)=3\times 9$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-3x+2y=-5,-3x+6y-15=27$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -3x+2y=-5 बाट -3x+6y-15=27 घटाउनुहोस्।

$$-3x+3x+2y-6y+15=-5-27$$

3x मा -3x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -3x र 3x राशी रद्द हुन्छन्।

$$2y-6y+15=-5-27$$

-6y मा 2y जोड्नुहोस्

$$-4y+15=-5-27$$

-27 मा -5 जोड्नुहोस्

$$-4y+15=-32$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 15 घटाउनुहोस्।

$$-4y=-47$$

दुबैतिर -4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{47}{4}$$

-x+2y-5=9 मा y लाई \frac{47}{4} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-x+2\times \frac{47}{4}-5=9$$

2 लाई \frac{47}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-x+\frac{47}{2}-5=9$$

-5 मा \frac{47}{2} जोड्नुहोस्

$$-x+\frac{37}{2}=9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{37}{2} घटाउनुहोस्।

$$-x=-\frac{19}{2}$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{19}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$