समाधान {l}{3x+6y=1}{x+y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 1 } \\ { x + y = 0 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x+6y=1,x+y=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x+6y=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 6y घटाउनुहोस्।

$$3x=-6y+1$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+1\right)$$

\frac{1}{3} लाई -6y+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-2y+\frac{1}{3}$$

-2y+\frac{1}{3} लाई x ले अर्को समीकरण x+y=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-2y+\frac{1}{3}+y=0$$

y मा -2y जोड्नुहोस्

$$-y+\frac{1}{3}=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{1}{3} घटाउनुहोस्।

$$-y=-\frac{1}{3}$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{3}$$

x=-2y+\frac{1}{3} मा y लाई \frac{1}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-2\times \frac{1}{3}+\frac{1}{3}$$

-2 लाई \frac{1}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-2+1}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1}{3} लाई -\frac{2}{3} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{1}{3}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+6y=1,x+y=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&6\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&6\\1&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&6\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-6}&-\frac{6}{3-6}\\-\frac{1}{3-6}&\frac{3}{3-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&2\\\frac{1}{3}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{1}{3}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x+6y=1,x+y=0$$

3x र x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3x+6y=1,3x+3y=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 3x+6y=1 बाट 3x+3y=0 घटाउनुहोस्।

$$3x-3x+6y-3y=1$$

-3x मा 3x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 3x र -3x राशी रद्द हुन्छन्।

$$6y-3y=1$$

-3y मा 6y जोड्नुहोस्

$$3y=1$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{3}$$

x+y=0 मा y लाई \frac{1}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x+\frac{1}{3}=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{1}{3} घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{1}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{1}{3}$$