समाधान {l}{3x+6y=-27}{-10x+3y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = - 27 } \\ { - 10 x + 3 y = - 8 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{11}{23}\approx -0.47826087$$

$$y = -\frac{98}{23} = -4\frac{6}{23} \approx -4.260869565$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x+6y=-27,-10x+3y=-8$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x+6y=-27$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 6y घटाउनुहोस्।

$$3x=-6y-27$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y-27\right)$$

\frac{1}{3} लाई -6y-27 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-2y-9$$

-2y-9 लाई x ले अर्को समीकरण -10x+3y=-8 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-10\left(-2y-9\right)+3y=-8$$

-10 लाई -2y-9 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$20y+90+3y=-8$$

3y मा 20y जोड्नुहोस्

$$23y+90=-8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 90 घटाउनुहोस्।

$$23y=-98$$

दुबैतिर 23 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{98}{23}$$

x=-2y-9 मा y लाई -\frac{98}{23} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-2\left(-\frac{98}{23}\right)-9$$

-2 लाई -\frac{98}{23} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{196}{23}-9$$

\frac{196}{23} मा -9 जोड्नुहोस्

$$x=-\frac{11}{23}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{11}{23},y=-\frac{98}{23}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+6y=-27,-10x+3y=-8$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&6\\-10&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-27\\-8\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&6\\-10&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\-10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&6\\-10&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\-10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\-8\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\-10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\-8\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\-10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-6\left(-10\right)}&-\frac{6}{3\times 3-6\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{3\times 3-6\left(-10\right)}&\frac{3}{3\times 3-6\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\-8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}&-\frac{2}{23}\\\frac{10}{69}&\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\-8\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}\left(-27\right)-\frac{2}{23}\left(-8\right)\\\frac{10}{69}\left(-27\right)+\frac{1}{23}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{23}\\-\frac{98}{23}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{11}{23},y=-\frac{98}{23}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x+6y=-27,-10x+3y=-8$$

3x र -10x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -10 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-10\times 3x-10\times 6y=-10\left(-27\right),3\left(-10\right)x+3\times 3y=3\left(-8\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-30x-60y=270,-30x+9y=-24$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -30x-60y=270 बाट -30x+9y=-24 घटाउनुहोस्।

$$-30x+30x-60y-9y=270+24$$

30x मा -30x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -30x र 30x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-60y-9y=270+24$$

-9y मा -60y जोड्नुहोस्

$$-69y=270+24$$

24 मा 270 जोड्नुहोस्

$$-69y=294$$

दुबैतिर -69 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{98}{23}$$

-10x+3y=-8 मा y लाई -\frac{98}{23} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-10x+3\left(-\frac{98}{23}\right)=-8$$

3 लाई -\frac{98}{23} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-10x-\frac{294}{23}=-8$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{294}{23} जोड्नुहोस्।

$$-10x=\frac{110}{23}$$

दुबैतिर -10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{11}{23}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{11}{23},y=-\frac{98}{23}$$