समाधान {l}{3x+5y=21}{5x+2y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 21 } \\ { 5 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{22}{19} = -1\frac{3}{19} \approx -1.157894737$$

$$y = \frac{93}{19} = 4\frac{17}{19} \approx 4.894736842$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x+5y=21$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5y घटाउनुहोस्।

$$3x=-5y+21$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+21\right)$$

\frac{1}{3} लाई -5y+21 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{3}y+7$$

-\frac{5y}{3}+7 लाई x ले अर्को समीकरण 5x+2y=4 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\left(-\frac{5}{3}y+7\right)+2y=4$$

5 लाई -\frac{5y}{3}+7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{25}{3}y+35+2y=4$$

2y मा -\frac{25y}{3} जोड्नुहोस्

$$-\frac{19}{3}y+35=4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 35 घटाउनुहोस्।

$$-\frac{19}{3}y=-31$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{19}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{93}{19}$$

x=-\frac{5}{3}y+7 मा y लाई \frac{93}{19} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{93}{19}+7$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{5}{3} लाई \frac{93}{19} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{155}{19}+7$$

-\frac{155}{19} मा 7 जोड्नुहोस्

$$x=-\frac{22}{19}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 2-5\times 5}&\frac{3}{3\times 2-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{5}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 21+\frac{5}{19}\times 4\\\frac{5}{19}\times 21-\frac{3}{19}\times 4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{19}\\\frac{93}{19}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

3x र 5x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5\times 3x+5\times 5y=5\times 21,3\times 5x+3\times 2y=3\times 4$$

सरल गर्नुहोस्।

$$15x+25y=105,15x+6y=12$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 15x+25y=105 बाट 15x+6y=12 घटाउनुहोस्।

$$15x-15x+25y-6y=105-12$$

-15x मा 15x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 15x र -15x राशी रद्द हुन्छन्।

$$25y-6y=105-12$$

-6y मा 25y जोड्नुहोस्

$$19y=105-12$$

-12 मा 105 जोड्नुहोस्

$$19y=93$$

दुबैतिर 19 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{93}{19}$$

5x+2y=4 मा y लाई \frac{93}{19} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$5x+2\times \frac{93}{19}=4$$

2 लाई \frac{93}{19} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$5x+\frac{186}{19}=4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{186}{19} घटाउनुहोस्।

$$5x=-\frac{110}{19}$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{22}{19}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$