समाधान {l}{3x+4y=7}{kx-2y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 7 } \\ { k x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{9}{2k+3}$$

$$y=-\frac{3-7k}{2\left(2k+3\right)}$$

$$k\neq -\frac{3}{2}$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x+4y=7,kx-2y=1$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x+4y=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4y घटाउनुहोस्।

$$3x=-4y+7$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+7\right)$$

\frac{1}{3} लाई -4y+7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{7}{3}$$

\frac{-4y+7}{3} लाई x ले अर्को समीकरण kx-2y=1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$k\left(-\frac{4}{3}y+\frac{7}{3}\right)-2y=1$$

k लाई \frac{-4y+7}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(-\frac{4k}{3}\right)y+\frac{7k}{3}-2y=1$$

-2y मा -\frac{4ky}{3} जोड्नुहोस्

$$\left(-\frac{4k}{3}-2\right)y+\frac{7k}{3}=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{7k}{3} घटाउनुहोस्।

$$\left(-\frac{4k}{3}-2\right)y=-\frac{7k}{3}+1$$

दुबैतिर -\frac{4k}{3}-2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{3-7k}{2\left(2k+3\right)}$$

x=-\frac{4}{3}y+\frac{7}{3} मा y लाई -\frac{3-7k}{2\left(2k+3\right)} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{3-7k}{2\left(2k+3\right)}\right)+\frac{7}{3}$$

-\frac{4}{3} लाई -\frac{3-7k}{2\left(2k+3\right)} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{2\left(3-7k\right)}{3\left(2k+3\right)}+\frac{7}{3}$$

\frac{2\left(3-7k\right)}{3\left(2k+3\right)} मा \frac{7}{3} जोड्नुहोस्

$$x=\frac{9}{2k+3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{9}{2k+3},y=-\frac{3-7k}{2\left(2k+3\right)}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+4y=7,kx-2y=1$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&4\\k&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&4\\k&-2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\k&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\k&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\k&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\k&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\k&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-4k}&-\frac{4}{3\left(-2\right)-4k}\\-\frac{k}{3\left(-2\right)-4k}&\frac{3}{3\left(-2\right)-4k}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2k+3}&\frac{2}{2k+3}\\\frac{k}{2\left(2k+3\right)}&-\frac{3}{2\left(2k+3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2k+3}\times 7+\frac{2}{2k+3}\\\frac{k}{2\left(2k+3\right)}\times 7-\frac{3}{2\left(2k+3\right)}\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2k+3}\\\frac{7k-3}{2\left(2k+3\right)}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{9}{2k+3},y=\frac{7k-3}{2\left(2k+3\right)}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x+4y=7,kx-2y=1$$

3x र kx लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई k ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$k\times 3x+k\times 4y=k\times 7,3kx+3\left(-2\right)y=3$$

सरल गर्नुहोस्।

$$3kx+4ky=7k,3kx-6y=3$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 3kx+4ky=7k बाट 3kx-6y=3 घटाउनुहोस्।

$$3kx+\left(-3k\right)x+4ky+6y=7k-3$$

-3kx मा 3kx जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 3kx र -3kx राशी रद्द हुन्छन्।

$$4ky+6y=7k-3$$

6y मा 4ky जोड्नुहोस्

$$\left(4k+6\right)y=7k-3$$

दुबैतिर 4k+6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{7k-3}{2\left(2k+3\right)}$$

kx-2y=1 मा y लाई \frac{7k-3}{2\left(2k+3\right)} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$kx-2\times \frac{7k-3}{2\left(2k+3\right)}=1$$

-2 लाई \frac{7k-3}{2\left(2k+3\right)} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$kx-\frac{7k-3}{2k+3}=1$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{7k-3}{2k+3} जोड्नुहोस्।

$$kx=\frac{9k}{2k+3}$$

दुबैतिर k ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{9}{2k+3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{9}{2k+3},y=\frac{7k-3}{2\left(2k+3\right)}$$