समाधान {l}{3x+4y=3}{8x+7y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 3 } \\ { 8 x + 7 y = 14 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{35}{11} = 3\frac{2}{11} \approx 3.181818182$$

$$y = -\frac{18}{11} = -1\frac{7}{11} \approx -1.636363636$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x+4y=3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4y घटाउनुहोस्।

$$3x=-4y+3$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+3\right)$$

\frac{1}{3} लाई -4y+3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{4}{3}y+1$$

-\frac{4y}{3}+1 लाई x ले अर्को समीकरण 8x+7y=14 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8\left(-\frac{4}{3}y+1\right)+7y=14$$

8 लाई -\frac{4y}{3}+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{32}{3}y+8+7y=14$$

7y मा -\frac{32y}{3} जोड्नुहोस्

$$-\frac{11}{3}y+8=14$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 8 घटाउनुहोस्।

$$-\frac{11}{3}y=6$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{11}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{18}{11}$$

x=-\frac{4}{3}y+1 मा y लाई -\frac{18}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{18}{11}\right)+1$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{4}{3} लाई -\frac{18}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{24}{11}+1$$

\frac{24}{11} मा 1 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{35}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-4\times 8}&-\frac{4}{3\times 7-4\times 8}\\-\frac{8}{3\times 7-4\times 8}&\frac{3}{3\times 7-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{8}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}\times 3+\frac{4}{11}\times 14\\\frac{8}{11}\times 3-\frac{3}{11}\times 14\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{11}\\-\frac{18}{11}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

3x र 8x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 8 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$8\times 3x+8\times 4y=8\times 3,3\times 8x+3\times 7y=3\times 14$$

सरल गर्नुहोस्।

$$24x+32y=24,24x+21y=42$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 24x+32y=24 बाट 24x+21y=42 घटाउनुहोस्।

$$24x-24x+32y-21y=24-42$$

-24x मा 24x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 24x र -24x राशी रद्द हुन्छन्।

$$32y-21y=24-42$$

-21y मा 32y जोड्नुहोस्

$$11y=24-42$$

-42 मा 24 जोड्नुहोस्

$$11y=-18$$

दुबैतिर 11 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{18}{11}$$

8x+7y=14 मा y लाई -\frac{18}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$8x+7\left(-\frac{18}{11}\right)=14$$

7 लाई -\frac{18}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$8x-\frac{126}{11}=14$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{126}{11} जोड्नुहोस्।

$$8x=\frac{280}{11}$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{35}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$