समाधान {l}{3x+2y=87}{5x+6y=187}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 87 } \\ { 5 x + 6 y = 187 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{37}{2} = 18\frac{1}{2} = 18.5$$

$$y = \frac{63}{4} = 15\frac{3}{4} = 15.75$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x+2y=87$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$3x=-2y+87$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+87\right)$$

\frac{1}{3} लाई -2y+87 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{2}{3}y+29$$

-\frac{2y}{3}+29 लाई x ले अर्को समीकरण 5x+6y=187 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\left(-\frac{2}{3}y+29\right)+6y=187$$

5 लाई -\frac{2y}{3}+29 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{10}{3}y+145+6y=187$$

6y मा -\frac{10y}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{8}{3}y+145=187$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 145 घटाउनुहोस्।

$$\frac{8}{3}y=42$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{8}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{63}{4}$$

x=-\frac{2}{3}y+29 मा y लाई \frac{63}{4} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{63}{4}+29$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{2}{3} लाई \frac{63}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{21}{2}+29$$

-\frac{21}{2} मा 29 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{37}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-2\times 5}&-\frac{2}{3\times 6-2\times 5}\\-\frac{5}{3\times 6-2\times 5}&\frac{3}{3\times 6-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 87-\frac{1}{4}\times 187\\-\frac{5}{8}\times 87+\frac{3}{8}\times 187\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{37}{2}\\\frac{63}{4}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

3x र 5x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 87,3\times 5x+3\times 6y=3\times 187$$

सरल गर्नुहोस्।

$$15x+10y=435,15x+18y=561$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 15x+10y=435 बाट 15x+18y=561 घटाउनुहोस्।

$$15x-15x+10y-18y=435-561$$

-15x मा 15x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 15x र -15x राशी रद्द हुन्छन्।

$$10y-18y=435-561$$

-18y मा 10y जोड्नुहोस्

$$-8y=435-561$$

-561 मा 435 जोड्नुहोस्

$$-8y=-126$$

दुबैतिर -8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{63}{4}$$

5x+6y=187 मा y लाई \frac{63}{4} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$5x+6\times \frac{63}{4}=187$$

6 लाई \frac{63}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$5x+\frac{189}{2}=187$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{189}{2} घटाउनुहोस्।

$$5x=\frac{185}{2}$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{37}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$