समाधान {l}{3x+2y=8}{2x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 8 } \\ { 2 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x+2y=8,2x+3y=9$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x+2y=8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$3x=-2y+8$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+8\right)$$

\frac{1}{3} लाई -2y+8 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

\frac{-2y+8}{3} लाई x ले अर्को समीकरण 2x+3y=9 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)+3y=9$$

2 लाई \frac{-2y+8}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}+3y=9$$

3y मा -\frac{4y}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{5}{3}y+\frac{16}{3}=9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{16}{3} घटाउनुहोस्।

$$\frac{5}{3}y=\frac{11}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{5}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{11}{5}$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3} मा y लाई \frac{11}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{11}{5}+\frac{8}{3}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{2}{3} लाई \frac{11}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{22}{15}+\frac{8}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{8}{3} लाई -\frac{22}{15} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{6}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{11}{5}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+2y=8,2x+3y=9$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\times 2}&-\frac{2}{3\times 3-2\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-2\times 2}&\frac{3}{3\times 3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 8-\frac{2}{5}\times 9\\-\frac{2}{5}\times 8+\frac{3}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{11}{5}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x+2y=8,2x+3y=9$$

3x र 2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 8,3\times 2x+3\times 3y=3\times 9$$

सरल गर्नुहोस्।

$$6x+4y=16,6x+9y=27$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 6x+4y=16 बाट 6x+9y=27 घटाउनुहोस्।

$$6x-6x+4y-9y=16-27$$

-6x मा 6x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 6x र -6x राशी रद्द हुन्छन्।

$$4y-9y=16-27$$

-9y मा 4y जोड्नुहोस्

$$-5y=16-27$$

-27 मा 16 जोड्नुहोस्

$$-5y=-11$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{11}{5}$$

2x+3y=9 मा y लाई \frac{11}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2x+3\times \frac{11}{5}=9$$

3 लाई \frac{11}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2x+\frac{33}{5}=9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{33}{5} घटाउनुहोस्।

$$2x=\frac{12}{5}$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{6}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{11}{5}$$