समाधान {l}{3x+2y=32}{-x+3y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { - x + 3 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=6$$

$$y=7$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x+2y=32$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$3x=-2y+32$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

\frac{1}{3} लाई -2y+32 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

\frac{-2y+32}{3} लाई x ले अर्को समीकरण -x+3y=15 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+3y=15$$

-1 लाई \frac{-2y+32}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{2}{3}y-\frac{32}{3}+3y=15$$

3y मा \frac{2y}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{11}{3}y-\frac{32}{3}=15$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{32}{3} जोड्नुहोस्।

$$\frac{11}{3}y=\frac{77}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{11}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=7$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3} मा y लाई 7 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{2}{3}\times 7+\frac{32}{3}$$

-\frac{2}{3} लाई 7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-14+32}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{32}{3} लाई -\frac{14}{3} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=6$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=6,y=7$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{3\times 3-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 3-2\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 3-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 32-\frac{2}{11}\times 15\\\frac{1}{11}\times 32+\frac{3}{11}\times 15\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=6,y=7$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

3x र -x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-3x-2y=-32,3\left(-1\right)x+3\times 3y=3\times 15$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-3x-2y=-32,-3x+9y=45$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -3x-2y=-32 बाट -3x+9y=45 घटाउनुहोस्।

$$-3x+3x-2y-9y=-32-45$$

3x मा -3x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -3x र 3x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-2y-9y=-32-45$$

-9y मा -2y जोड्नुहोस्

$$-11y=-32-45$$

-45 मा -32 जोड्नुहोस्

$$-11y=-77$$

दुबैतिर -11 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=7$$

-x+3y=15 मा y लाई 7 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-x+3\times 7=15$$

3 लाई 7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-x+21=15$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 21 घटाउनुहोस्।

$$-x=-6$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=6$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=6,y=7$$