समाधान {l}{3x+2y=-8}{-x-2y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = - 8 } \\ { - x - 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=2$$

$$y=-7$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x+2y=-8,-x-2y=12$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x+2y=-8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$3x=-2y-8$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-8\right)$$

\frac{1}{3} लाई -2y-8 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}$$

\frac{-2y-8}{3} लाई x ले अर्को समीकरण -x-2y=12 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\left(-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}\right)-2y=12$$

-1 लाई \frac{-2y-8}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}-2y=12$$

-2y मा \frac{2y}{3} जोड्नुहोस्

$$-\frac{4}{3}y+\frac{8}{3}=12$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{8}{3} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{4}{3}y=\frac{28}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{4}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-7$$

x=-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3} मा y लाई -7 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{2}{3}\left(-7\right)-\frac{8}{3}$$

-\frac{2}{3} लाई -7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{14-8}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{8}{3} लाई \frac{14}{3} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=2,y=-7$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+2y=-8,-x-2y=12$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 12\\-\frac{1}{4}\left(-8\right)-\frac{3}{4}\times 12\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=2,y=-7$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x+2y=-8,-x-2y=12$$

3x र -x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-3x-2y=-\left(-8\right),3\left(-1\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-3x-2y=8,-3x-6y=36$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -3x-2y=8 बाट -3x-6y=36 घटाउनुहोस्।

$$-3x+3x-2y+6y=8-36$$

3x मा -3x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -3x र 3x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-2y+6y=8-36$$

6y मा -2y जोड्नुहोस्

$$4y=8-36$$

-36 मा 8 जोड्नुहोस्

$$4y=-28$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-7$$

-x-2y=12 मा y लाई -7 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-x-2\left(-7\right)=12$$

-2 लाई -7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-x+14=12$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 14 घटाउनुहोस्।

$$-x=-2$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=2,y=-7$$