समाधान {l}{3w-2z=5}{w+2z=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 w - 2 z = 5 } \\ { w + 2 z = 15 } \end{array} \right.$$

w, z को लागि हल गर्नुहोस्

$$z=5$$

$$w=5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको w लाई अलग गरी w का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3w-2z=5$$

समीकरणको दुबैतिर 2z जोड्नुहोस्।

$$3w=2z+5$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$w=\frac{1}{3}\left(2z+5\right)$$

\frac{1}{3} लाई 2z+5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}$$

\frac{2z+5}{3} लाई w ले अर्को समीकरण w+2z=15 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}+2z=15$$

2z मा \frac{2z}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{8}{3}z+\frac{5}{3}=15$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{5}{3} घटाउनुहोस्।

$$\frac{8}{3}z=\frac{40}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{8}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$z=5$$

w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3} मा z लाई 5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले w लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$w=\frac{2}{3}\times 5+\frac{5}{3}$$

\frac{2}{3} लाई 5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$w=\frac{10+5}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{5}{3} लाई \frac{10}{3} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$w=5$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$w=5,z=5$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 15\\-\frac{1}{8}\times 5+\frac{3}{8}\times 15\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू w र z लाई ता्नुहोस्।

$$w=5,z=5$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

3w र w लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3w-2z=5,3w+3\times 2z=3\times 15$$

सरल गर्नुहोस्।

$$3w-2z=5,3w+6z=45$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 3w-2z=5 बाट 3w+6z=45 घटाउनुहोस्।

$$3w-3w-2z-6z=5-45$$

-3w मा 3w जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 3w र -3w राशी रद्द हुन्छन्।

$$-2z-6z=5-45$$

-6z मा -2z जोड्नुहोस्

$$-8z=5-45$$

-45 मा 5 जोड्नुहोस्

$$-8z=-40$$

दुबैतिर -8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$z=5$$

w+2z=15 मा z लाई 5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले w लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$w+2\times 5=15$$

2 लाई 5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$w+10=15$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 10 घटाउनुहोस्।

$$w=5$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$w=5,z=5$$