समाधान {l}{3u+z=15}{u+2z=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + z = 15 } \\ { u + 2 z = 10 } \end{array} \right.$$

u, z को लागि हल गर्नुहोस्

$$z=3$$

$$u=4$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3u+z=15,u+2z=10$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको u लाई अलग गरी u का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3u+z=15$$

समीकरणको दुबैतिरबाट z घटाउनुहोस्।

$$3u=-z+15$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$u=\frac{1}{3}\left(-z+15\right)$$

\frac{1}{3} लाई -z+15 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$u=-\frac{1}{3}z+5$$

-\frac{z}{3}+5 लाई u ले अर्को समीकरण u+2z=10 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\frac{1}{3}z+5+2z=10$$

2z मा -\frac{z}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{5}{3}z+5=10$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5 घटाउनुहोस्।

$$\frac{5}{3}z=5$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{5}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$z=3$$

u=-\frac{1}{3}z+5 मा z लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले u लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$u=-\frac{1}{3}\times 3+5$$

-\frac{1}{3} लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$u=-1+5$$

-1 मा 5 जोड्नुहोस्

$$u=4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$u=4,z=3$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3u+z=15,u+2z=10$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-1}&-\frac{1}{3\times 2-1}\\-\frac{1}{3\times 2-1}&\frac{3}{3\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 15-\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 15+\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू u र z लाई ता्नुहोस्।

$$u=4,z=3$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3u+z=15,u+2z=10$$

3u र u लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3u+z=15,3u+3\times 2z=3\times 10$$

सरल गर्नुहोस्।

$$3u+z=15,3u+6z=30$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 3u+z=15 बाट 3u+6z=30 घटाउनुहोस्।

$$3u-3u+z-6z=15-30$$

-3u मा 3u जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 3u र -3u राशी रद्द हुन्छन्।

$$z-6z=15-30$$

-6z मा z जोड्नुहोस्

$$-5z=15-30$$

-30 मा 15 जोड्नुहोस्

$$-5z=-15$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$z=3$$

u+2z=10 मा z लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले u लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$u+2\times 3=10$$

2 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$u+6=10$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 6 घटाउनुहोस्।

$$u=4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$u=4,z=3$$