समाधान {l}{3u+5x=8}{5u+5x=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + 5 x = 8 } \\ { 5 u + 5 x = 14 } \end{array} \right.$$

u, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$u=3$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको u लाई अलग गरी u का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3u+5x=8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5x घटाउनुहोस्।

$$3u=-5x+8$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$u=\frac{1}{3}\left(-5x+8\right)$$

\frac{1}{3} लाई -5x+8 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}$$

\frac{-5x+8}{3} लाई u ले अर्को समीकरण 5u+5x=14 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\left(-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}\right)+5x=14$$

5 लाई \frac{-5x+8}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{25}{3}x+\frac{40}{3}+5x=14$$

5x मा -\frac{25x}{3} जोड्नुहोस्

$$-\frac{10}{3}x+\frac{40}{3}=14$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{40}{3} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{10}{3}x=\frac{2}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{10}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=-\frac{1}{5}$$

u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3} मा x लाई -\frac{1}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले u लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$u=-\frac{5}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)+\frac{8}{3}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{5}{3} लाई -\frac{1}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$u=\frac{1+8}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{8}{3} लाई \frac{1}{3} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$u=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&\frac{3}{3\times 5-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{2}\times 8-\frac{3}{10}\times 14\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू u र x लाई ता्नुहोस्।

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 3u+5x=8 बाट 5u+5x=14 घटाउनुहोस्।

$$3u-5u+5x-5x=8-14$$

-5x मा 5x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 5x र -5x राशी रद्द हुन्छन्।

$$3u-5u=8-14$$

-5u मा 3u जोड्नुहोस्

$$-2u=8-14$$

-14 मा 8 जोड्नुहोस्

$$-2u=-6$$

दुबैतिर -2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$u=3$$

5u+5x=14 मा u लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$5\times 3+5x=14$$

5 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$15+5x=14$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 15 घटाउनुहोस्।

$$5x=-1$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$