समाधान {l}{3a+b=-3}{2a-b=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + b = - 3 } \\ { 2 a - b = - 1 } \end{array} \right.$$

a, b को लागि हल गर्नुहोस्

$$a=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$b=-\frac{3}{5}=-0.6$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको a लाई अलग गरी a का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3a+b=-3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट b घटाउनुहोस्।

$$3a=-b-3$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=\frac{1}{3}\left(-b-3\right)$$

\frac{1}{3} लाई -b-3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=-\frac{1}{3}b-1$$

-\frac{b}{3}-1 लाई a ले अर्को समीकरण 2a-b=-1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-\frac{1}{3}b-1\right)-b=-1$$

2 लाई -\frac{b}{3}-1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{2}{3}b-2-b=-1$$

-b मा -\frac{2b}{3} जोड्नुहोस्

$$-\frac{5}{3}b-2=-1$$

समीकरणको दुबैतिर 2 जोड्नुहोस्।

$$-\frac{5}{3}b=1$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{5}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$b=-\frac{3}{5}$$

a=-\frac{1}{3}b-1 मा b लाई -\frac{3}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a=-\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{3} लाई -\frac{3}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$a=\frac{1}{5}-1$$

\frac{1}{5} मा -1 जोड्नुहोस्

$$a=-\frac{4}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{3}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू a र b लाई ता्नुहोस्।

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

3a र 2a लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 3a+2b=2\left(-3\right),3\times 2a+3\left(-1\right)b=3\left(-1\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$6a+2b=-6,6a-3b=-3$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 6a+2b=-6 बाट 6a-3b=-3 घटाउनुहोस्।

$$6a-6a+2b+3b=-6+3$$

-6a मा 6a जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 6a र -6a राशी रद्द हुन्छन्।

$$2b+3b=-6+3$$

3b मा 2b जोड्नुहोस्

$$5b=-6+3$$

3 मा -6 जोड्नुहोस्

$$5b=-3$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=-\frac{3}{5}$$

2a-b=-1 मा b लाई -\frac{3}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2a-\left(-\frac{3}{5}\right)=-1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{3}{5} घटाउनुहोस्।

$$2a=-\frac{8}{5}$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=-\frac{4}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$